Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

I.7 – Tensões Principais
O estado de tensão em um ponto é definido por seis componentes orientadas
segundo um sistema de coordenadas de referência. Muitas vezes é de interesse na
análise o conhecimento do estado de tensão com referência em outro sistema de
coordenadas. O processo de transformação do estado de tensão no ponto de um sistema
de referência para outro é simples bastando, para tanto, o conhecimento dos ângulos de
inclinação entre os sistemas de referência anterior e atual.
Apesar de ser fácil o processo de transformação do estado de tensão de um
sistema de referência a outro é de grande interesse em engenharia a obtenção do estado
de tensão em direções particulares onde as tensões cisalhantes sejam nulas. Em um
problema tridimensional existem três planos perpendiculares entre si onde essa condição
é atendida, ou seja, as tensões cisalhantes são nulas observando-se somente a presença
de tensões normais. Essas tensões são chamadas de tensões principais e, os eixos que as
contém, de eixos principais de tensões.
P
Assim, o vetor de tensão { σ } é dito principal se a seguinte relação é verificada:
P { }
Anexo I – Tópicos da Teoria da Elasticidade______________________________________
⎧ ^ ⎫
Onde λ é um escalar denominado valor principal e
particular que define uma direção principal.
Considerando a Eq. (I.3) pode-se escrever:
405
σ = λ ⋅⎨η ⎬
⎩ ⎭ (I.10)
[ ]
Ou em termos de componentes:
⎧ ^ ⎫ ⎧ ^ ⎫
⎧ ^ ⎫
⎨η ⎬ é o versor da normal
⎩ ⎭
σ ⋅ ⎨η ⎬ = λ ⋅ ⎨η ⎬
⎩ ⎭ ⎩ ⎭ (I.11)
⎛ ^ ⎞ ⎛ ^ ⎞
^ ^
⎜σ ij ⋅η j ⎟⋅ ei = ⎜λ ⋅η i ⎟⋅
ei
∴ σ ij ⋅ η j = λ ⋅η
i
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )
^ ^ ^
(I.12)
σ ⋅ η = λ ⋅η ⋅δ ∴ σ − λ ⋅δ ⋅ η = 0
(I.13)
ij j j ij ij ij j
Ou ainda, a última expressão da Eq. (I.13) pode ser reescrita como:
( )
⎡( σ x − λ ) σ xy σ xz ⎤
⎧ ^ ⎫
⎪η1 ⎪
^ ^
⎢ ⎥
⎧0⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
σij − λ ⋅δ ij ⋅ η j = 0 ⇒ ⎢ σ yx ( σ y − λ ) σ yz ⎥ ⋅ ⎨η2 ⎬ = ⎨0⎬ ⎢ ⎥ ⎪ ^ ⎪ ⎪
σ ( ) 0⎪
⎢ zx σ zy σ z − λ ⎥ η ⎩ ⎭
⎣ ⎦ ⎪ ⎪ 3
⎪⎩ ⎪⎭
(I.14)