Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

Nessa formulação foram consideradas duas leis coesivas, as quais são descritas
no capítulo 3. Estas são as leis coesivas linear e bi-linear. Para a lei coesiva linear as
forças coesivas são regidas pela seguinte equação:
⎛ ∆U
⎞
Pf = ft
⋅⎜1 − ⎟
⎝ ∆Ucr
⎠
Capítulo 6 – Formulações Não Lineares do MEC para a Análise de Problemas de Fratura e Contato
121
(6.22)
Onde o termo cr U ∆ representa a abertura crítica do material e f a resistência à
t
tração do material. Com essa lei constitutiva o termo ∂Pf ∂∆U é dado por:
∂Pf
ft
= −
∂∆U ∆U
cr
(6.23)
A lei coesiva bi-linear é formada por dois trechos lineares, com diferentes
inclinações, relacionando as forças coesivas à abertura normal das faces da fissura
conforme discutido no capítulo 3. A lei coesiva bi-linear é dada pelas seguintes
equações:
Sendo:
'' ⎛ ft − f ⎞ t
Pf = ft − ⎜ ⋅ ∆U se 0 ≤ ∆U ≤ ∆u
'' ⎟
⎝ ∆u
⎠
P
f ⋅∆U f
⎛ ∆u
⎞
se u U U
⎝ ⎠
'' ''
t
f = ''
∆u − ∆Ucr +
''
t ⋅⎜1 − '' ⎟
∆u − ∆Ucr
∆
''
≤ ∆ ≤ ∆ cr
''
(6.24)
'' f
0,8 ⋅G 3,6
t
'' f ⋅G
f
ft = ∆ u = ∆ Ucr
= (6.25)
3
f f
t t
Onde G f representa a energia de fratura. De acordo com a Eq. (6.24) pode-se
agora determinar o termo ∂Pf ∂∆ U para a lei coesiva bi-linear. Esse termo para os dois
trechos da lei coesiva são apresentados na Eq. (6.26).
''
∂Pf ⎛ ft − f ⎞ t = −⎜ '' ⎟
∂∆U ⎝ ∆u
⎠
''
se 0 ≤ ∆U ≤ ∆u
''
∂Pf
ft
= ''
∂∆U ∆u − ∆U
∆ ≤ ∆ ≤ ∆
cr
''
se u U Ucr
(6.26)
Através dessa formulação a convergência em cada passo de carga é obtida
calculando-se a norma dos deslocamentos ou das forças: ∆Ui − ∆Ui 1 ≤ Tolerância ou
∆P − ∆P ≤ Tolerância . Se uma dessas relações for atendida, ou mesmo ambas,
i i−1
obtém-se a convergência do passo de carga e passa-se a um novo incremento de carga.
Quando ∆U ≥ ∆ Ucr
o termo ∂Pf ∂∆ U torna-se nulo e o operador é recalculado.
−