Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

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Já o último termo do segundo membro da Eq. (5.55) resulta uma integral imprópria que deve ser avaliada ao longo do contorno. Essa integral deve ser avaliada empregando-se a parte finita de Cauchy podendo ser representada como: lim D ( f , c) ⋅ P ( c) dΓ = D ( f , c) ⋅ P ( c) dΓ ε →0 − Γ−Γ kij k kij k Γ Capítulo 5 – Método dos Elementos de Contorno __________________________________ 107 ∫ ∫ (5.58) Tomando agora a análise do termo S kij , Eq. (5.53), verifica-se a presença de uma hiper-singularidade, representada pelo fator 2 1 r , conforme descreve a Eq. (5.48). Para realizar a análise do termo citado deve-se inicialmente efetuar a expansão dos deslocamentos, em torno do ponto fonte, em série de Taylor e em seguida tomar os dois primeiros termos. Os demais termos da série não serão representados, pois anulam-se durante a execução da operação limite. Efetuando este procedimento obtém-se a seguinte relação para o termo S kij : ∫ ∫ lim S ( f , c) ⋅u ( c) dΓ = lim S ( f , c) ⋅u ( c) dΓ + kij k kij k ε →0 ε →0 − − Γ−Γ+Γ ε Γ−Γ ∫ ∫ lim S ( f , c) ⋅u ( f ) ⋅( x ( c) − x ( f )) dΓ − lim S ( f , c) ⋅u ( f ) ⋅( x ( c) − x ( f )) dΓ + kij k , m m m kij k , m m m ε →0 ε →0 Γε Γε ∫ ∫ ∫ (5.59) lim S ( f , c) ⋅u ( f ) dΓ − lim S ( f , c) ⋅u ( f ) dΓ + lim S ( f , c) ⋅u ( c) dΓ kij k kij k kij k ε →0 ε →0 ε →0 Γε Γε Γε ∫ Reorganizando os termos da Eq. (5.59) obtém-se: ∫ [ u ( c) − u ( f ) − u ( f ) ⋅( x ( c) − x ( f )) ] lim Skij ( f , c) ⋅u k ( c) dΓ= lim Skij ( f , c) ⋅ k k k, m m m ε →0 ε →0 − Γ Γ−Γ + Γ ε ε + ∫ uk ( f ) ⋅lim Skij ( f , c) dΓ + uk , m ( f ) ⋅lim Skij ( f , c) ⋅( xm ( c) − xm ε →0 ε →0 Γε Γε + lim S ( f , c) ⋅u ( c) dΓ ∫ ( f )) dΓ dΓ kij k ε →0 ∫ (5.60) − Γ−Γ Admitindo-se que as derivadas dos deslocamentos no contorno possuam continuidade de Hölder, de acordo com a Eq. (5.61), pode-se verificar que o primeiro termo do segundo membro da Eq.(5.60) é nulo. 1 u ( c) u ( f ) u ( f ) ( x ( c) x ( f )) B x ( c) x ( f ) ϑ+ − − ⋅ − ≤ ⋅ − (5.61) k k k , m m m m m
Já o segundo e o quarto termos do segundo membro da Eq. (5.60) devem ser analisados conjuntamente. Esse procedimento deve ser efetuado, pois o segundo termo gera, depois da integração, um fator com singularidade e assim durante a execução da operação de limite seu valor tenderá ao infinito. Esta singularidade é contornada com a soma desses dois termos, já que o quarto termo é uma integral imprópria. A expressão resultante da soma dos dois termos considerados deve ser analisada por meio da parte finita de Hadamard podendo ser representada como: em que: ∫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ lim ⎨ Skij ( f , c) ⋅uk ( c) dΓ + uk ( f ) ⋅ Skij ( f , c) dΓ ⎬= Skij ( f , c) ⋅uk ( c) dΓ ε →0 − ⎪ Γε Γ ⎩ ⎪ Γ−Γ ⎭ ∫ ∫ ∫ (5.62) integral da parte finita de Hadamard. PORTELA (1992) apresenta que a singularidade presente no segundo termo do primeiro membro da Eq. (5.62) é sempre cancelada com outro termo singular liberado do processo de integração do primeiro termo desse mesmo membro, resultando portanto um valor finito. Já o terceiro termo do segundo membro da Eq. (5.60) é integrável e resulta um termo independente, após a execução da operação limite, que deve ser analisado separadamente, assim: uk , m ( f ) ⋅lim Skij ( f , c) ⋅( xm ( c) − xm ( f )) dΓ = Bkijm ( f , c) ⋅u k , m ε →0 ∫ Γε ( f ) Capítulo 5 – Método dos Elementos de Contorno __________________________________ 108 (5.63) O fator B kijm depende das propriedades elásticas do material e também do sistema de coordenadas empregado. De forma a propor uma melhor organização do equacionamento os termos independentes provenientes da análise dos fatores Skij e Dkij podem ser adicionados de forma a gerar um único termo independente. PORTELA (1992) apresenta que a junção dos resultados das Eq. (5.57) e Eq. (5.63) produzem: 1 = ⋅σ ( f ) 2 ' ' Akij Pk − Bkijm ⋅u k , m ij ⋅ (5.64) O fator ½ resulta da consideração de contorno suave no posicionamento do ponto fonte. Sob essa condição devem ser empregados elementos de contorno descontínuos para a representação das faces da fissura. Isso ocorre pelo fato do equacionamento requerer a continuidade da derivada do deslocamento a qual é
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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA D
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Dedico esse trabalho carinhosamente
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Figura 7.64 Crescimento da fissura.
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Vale ressaltar que o procedimento d
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A estrutura foi analisada e a confi
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BAZANT, Z.P; LI, Y. N. (1995). Stab
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BUYUKOZTURK, O; HEARING, B. (1998).
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CRUSE, T. A. (1969). Numerical solu
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HERTZ,H. (1882). On the contact of
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KRAJCINOVIC, D; MASTILOVIC,S. (2001
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MACIEL, D.N. (2003), Determinação
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MODEER,M. (1979). A Fracture Mechan
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PARIS, F; CAÑAS, J. (1997). Bounda
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RIBEIRO, G. O. (1992). Sobre a form
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SOARES, R.C. (2001). Um estudo sobr
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VIRKLER, D.A; HILLBERRY, B.M; GOEL,
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{ ( ) 1 C6 3 S22 = ⋅ ⎡( C4 + 2
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