Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

Existe uma outra maneira de olharmos os sistemas Eq.(10.7). Suponha que na
iteração k o subproblema quadrático definido seja:
sendo
( SQ)
minimizar
1 t k t k
p W p + ∇ f p
2
( )
k k
sujeito a A p + h x = 0
Capítulo 10 – Acoplamento entre Modelo Mecano-Fiabilístico e um Algoritmo de Otimização_____
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(10.9)
k
W dado pela Eq. (10.5). Ressalta-se que a função objetivo do problema SQ
difere apenas por uma constante da aproximação quadrática da função Lagrangeana
associada ao problema SQ, definida da seguinte forma:
De fato, dado ( , )
Mas tem-se que:
( )
1 t k t k t k k
L( p, λ) = p W p + ∇ f p + λ A p + h( x )
(10.10)
2
x λ o modelo quadrático para a função Lagrangeana é:
k k
k k t k k 1 t k
M L ( p) = L( x , λ ) + ∇ L( x , λ ) p + p W p
(10.11)
2
t
k k k k k
( , λ ) ( ) λ ( )
L x = f x + h x
(10.12)
( , ) ( )
t
t k k t k k k
∇ L x λ p = ∇ f x p + λ A p
(10.13)
Dessa forma a Eq.(10.11) pode ser reescrita como:
1 t k t k
M L ( p) = p W p + ∇ f ( x ) p + v
(10.14)
2
Sendo que a constante v pode ser definida como:
( )
t t
k k k k k k k k
( , λ ) λ ( ) λ ( )
v = L x + A p = f x + A p + h x
(10.15)
k
Considerando-se a restrição do subproblema SQ, tem-se v f ( x )
= . Assim cada
iteração do SQP consiste em minimizar o modelo quadrático da função Lagrangeano,
sujeito a linearização das restrições.
Se as condições usadas para mostrar a não-singularidade de
subproblema SQ tem solução única ( , )
p µ que satisfaz:
k k
t
⎡ k k k k
W p + ∇ f + A µ ⎤
⎢ 0
k k ⎥ =
⎣ A p + h ⎦
k
J se verificam, o
(10.16)
Note-se que pk e v k podem ser identificados como solução do sistema de
Newton Eq. (10.7). Subtraindo-se
t
k k
A λ em ambos os lados da Eq. (10.7) obtém-se: