Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

Anexo C. – Sub-Elementação
Quando o ponto de colocação considerado não pertencer ao elemento de
contorno a ser integrado procedimentos numéricos devem ser empregados para a
realização do processo de integração. Normalmente emprega-se o procedimento de
integração de Gauss-Legendre o qual consiste em aproximar o valor de uma dada
integral, situada em um intervalo normalizado e –1 a 1, pela integral de um polinômio
interpolador nesse trecho. A integral do polinômio é efetuada tomando-se o somatório
do valor da função polinomial em determinadas abscissas multiplicado-os por fatores de
ponderação.
No entanto quando o ponto de colocação encontra-se não muito distante do
elemento de contorno a ser integrado o procedimento numérico de integração não
conduz a bons resultados. Isso se deve ao fato do núcleo dos termos integrais
apresentarem elevados gradientes tornando a integral quase singular mesmo com um
número elevado de pontos de integração.
De forma a contornar esse problema pode ser utilizada a técnica de sub-
elementação o qual consiste basicamente em dividir o elemento de contorno a ser
integrado em elementos menores (sub-elementos). Os sub-elementos podem ser de igual
comprimento ou então tomar a forma progressiva, sendo essa última a mais indicada.
Para a formulação dos sub-elementos admite-se como válida a seguinte relação:
f Γj
)
NSub
ηdΓ
j = ∑ ∫
∫
Γj
i=
1 Γji
( f ( Γ ) ϕη
dΓ
Anexo C– Sub-Elementação ________________________________________________
ji
ji
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ϕ (C.1)
Onde o posicionamento das variáveis pode ser visualizado na Fig. (C.1).
Transformando o intervalo de integração em coordenadas adimensionais η
pode-se reescrever a Eq. (C.1) como:
Γ = a
i
Γ = b
i
→ η = −1
→ η = 1
(C.2)