Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

. ∂f . ∂f
. ⎡ . . ⎤
.
p
f = σ + q = sign( σ − q) ⋅ E ⋅ ε − λ⋅ sign( σ − q) − sign ( σ − q) ⋅ H ⋅λ⋅ sign( σ − q)
= 0
∂σ ∂q ⎢ ⎥
⎣ ⎦
onde
p ( E + H )
Isolando-se .
λ :
( σ )
. sign − q ⋅ E .
λ =
ε
p ( E + H )
Finalmente com as Eq. (7.32), Eq. (7.54) e Eq. (7.57) calcula-se:
E ⋅ H
p
. .
p E
ε = ε
p ( E + H )
. p .
E ⋅ H
σ = ε
p ( E + H )
é o módulo elastoplástico tangente, conforme ilustrado na Fig. (7.36).
Capítulo 7 – Acoplamento entre Método dos Elementos de Contorno e Método dos Elementos Finitos
198
(7.56)
(7.57)
(7.58)
(7.59)
Pode também ser construído um modelo que mescle as características presentes
nos encruamentos isótropo e cinemático. Este tipo de encruamento é o misto o qual
fornece expansão e translação do intervalo elástico. Nesse tipo de modelo o critério de
plastificação passa a ser dado por:
p
( σ α ) σ ( σ y α )
f , q, = − q − + K ⋅ ≤ 0
(7.60)
As variáveis q e α já foram definidas nas Eq. (7.55), Eq. (7.42), portanto deve-
se agora obter a expressão para o incremento nas deformações plásticas. Assim como
nos casos anteriores a taxa de deformação plástica é definida a partir das seguintes
condições:
. .
p p
, se q y K
ε = λ σ − = σ + ⋅ α
(7.61)
( y )
. .
p p
ε = −λ , se σ − q = − σ + K ⋅ α
(7.62)
As duas últimas equações podem ser condensadas como:
. .
p
( )
ε = λ⋅ sign σ − q
(7.63)
sendo que sign σ q se( σ q) e sign σ q se( σ q)
( − ) = 1, − > 0 ( − ) = −1, − < 0 .
A expressão para
.
λ é obtida fazendo-se
(7.45), Eq. (7.55), Eq. (7.60) e Eq. (7.63) têm-se:
.
f = 0 . De posse das Eq. (7.32), Eq.
. ∂f . ∂f . ∂f
. ⎡ . . ⎤
. .
p p
f = σ + q+ α = sign( σ − q) ⋅ E ⋅ ε − λ⋅ sign ( σ − q) − sign( σ − q) ⋅ H ⋅λ⋅ sign( σ − q) − K ⋅ λ = 0
∂σ ∂q ∂α ⎢ ⎥
(7.64)
⎣ ⎦
Isolando-se .
λ :