Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

Esse conjunto de métodos foi popularizado principalmente a partir de meados da
década de 70 com o surgimento das versões Quasi-Newton e suas generalizações.
Destacam-se nesse início de desenvolvimento do método os trabalhos de POWELL
(1977, 1978) e HAN (1977). As pesquisas sobre SQP tratam do uso eficiente de
derivadas segundas da função objetivo, particularmente em problemas de difícil
resolução. Assim os métodos de SQP são generalizações do método de Newton para o
problema geral de otimização onde correntemente aborda-se um problema com função
objetivo e restrições não lineares. A idéia central do método consiste em linearizar as
condições de otimalidade do problema, expressando as equações resultantes desse
processo em um sistema solvível. A linearização permite a adoção de algoritmos com
rápida convergência local tornando o método eficiente. Dessa forma o SQP trabalha
substituindo, a cada iteração, a função objetivo por uma aproximação quadrática da
função lagrangeana do problema original num ponto x k e as restrições por
aproximações lineares também no ponto x k . Esse processo justifica inclusive o nome do
método. Essa aproximação pode ser feita expandindo-se a função lagrangeana em série
de Taylor e tomar os três primeiros termos, para a função objetivo, os dois primeiros
termos, para as restrições. Dessa maneira o subproblema a ser resolvido a cada iteração
k é um problema quadrático com restrições lineares, que comparado com o problema
original, pode ser considerado de mais fácil resolução. Esses métodos podem ser
considerados métodos primais-duais, no sentido que eles trabalham simultaneamente no
espaço das variáveis primais e no espaço dos multiplicadores de Karush-Kuhn-Tucker
(KKT), variáveis duais.
Em geral, os algoritmos de programação não linear resolvem problemas de
obtenção de extremos calculando, em cada iteração, dois parâmetros principais: direção
de descida (ou de subida se o problema for maximização) e a distância a percorrer na
direção calculada (extremo unidirecional). Por meio do SQP são obtidas as direções de
descida (ou subida) para cada variável considerada no problema. Já o problema da
obtenção do extremo unidirecional é resolvido utilizando-se outro tipo de algoritmo de
otimização, neste caso aplicado a problemas unidirecionais. Existem vários algoritmos
para tratar esse último problema podendo-se destacar os métodos de aproximações
polinomiais e também dicotomia. No entanto neste trabalho optou-se por utilizar o
método Golden Section para a resolução do problema unidirecional. Este método é
Capítulo 10 – Acoplamento entre Modelo Mecano-Fiabilístico e um Algoritmo de Otimização_____
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