Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

1 ⎛ θ ⎞
τ rθ = ⋅cos ⎜ ⎟⋅ ⎡K I ⋅ sen( θ ) + KII
⋅( 3⋅ cos( θ ) −1)
⎤
2⋅ 2⋅π
⋅ r ⎝ 2 ⎠
⎣ ⎦
1 ⎛θ ⎞ ⎡ ⎛ 2 ⎛θ ⎞⎞ 3
⎛θ ⎞⎤
σ rr = ⋅cos ⎜ ⎟⋅ ⎢K I ⋅ 1+ sen + ⋅ KII ⋅ sen( θ ) − 2⋅ KII
⋅ tan
2 π r 2
⎜ ⎜ ⎟ ⎥
2
⎟
⎜ ⎟
⋅ ⋅ ⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎝ ⎠⎠ 2 ⎝ 2 ⎠⎦
Capítulo 3 – Mecânica da Fratura e Contato______________________________________
39
(3.23)
(3.24)
sendo que: σ θθ é a tensão circunferencial, σ rr a tensão radial, τ r θ a tensão cisalhante,
K I o fator de intensidade de tensão para o modo I e K II fator de intensidade de tensão
para o modo II.
τr θ
r
θ
σ rr
σθθ
x
Extremidade da
Fissura
Figura 3.3 Sistema de coordenadas para a determinação das expressões de tensão na ponta da fissura.
Para a determinação do ângulo de propagação a tensão circunferencial, σ θθ ,
deve ser máxima e conseqüentemente uma tensão principal. De acordo com os
conceitos da mecânica dos sólidos para que essa situação ocorra a tensão de
cisalhamento deve ser nula. Assim para determinar a direção de propagação da fissura,
θ , deve-se fazer τ = 0 . Por meio dessa condição é possível obter:
p
como:
rθ
( )
( θ ) ( θ )
K ⋅ sen + K ⋅ 3⋅ cos − 1 = 0
(3.25)
I p II p
Empregando relações trigonométricas é possível reescrever a relação acima
⎛θ
⎡
p ⎞ 1
= ⎢
K I
tan ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠ 4 ⎢ K II
⎣
±
⎛ K
⎜
⎝ K
I
II
⎞
⎟
⎠
2
⎤
+ 8⎥
⎥
⎦
(3.26)
Por meio da resolução da Eq. (3.26) são obtidos dois ângulos sendo que o ângulo
a ser considerado como o de propagação é aquele que maximiza o valor da tensão
circunferencial, Eq. (3.22).