Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

p x p x
⎡U ⎤ ⎡ Cos( θ ) Sen( θ) ⎤ ⎡U ⎤ ⎡P ⎤ ⎡ Cos( θ ) Sen(
θ ) ⎤ ⎡P ⎤
⎢ e
n ⎥ = ⎢ y n y
U Sen( θ ) Cos( θ )
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎢ ⎥
U P Sen( θ ) Cos(
θ )
⎥
⎣ ⎦ ⎣− ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣− ⎦ ⎣P ⎦
Na Eq. (6.8) os índices p e n referem-se às direções paralela e normal ao
elemento de contorno considerado. A variável θ representa o ângulo de inclinação entre
o elemento de contorno considerado e o eixo x do sistema cartesiano. Considerando a
separação dos deslocamentos e forças de superfície nas faces das fissuras nas direções
paralela e normal pode-se reescrever a Eq. (6.7) como:
A X + H U + H U + H U + H U = F + G P + G P + G P + G P
cc
fc
dp dp dn dn ep ep en en dp dp dn dn ep ep en en
cf f cf f cf f cf f cf f cf f cf f cf f
A X + H U + H U + H U + H U = F + G P + G P + G P + G P
dp dp dn dn ep ep en en dp dp dn dn ep ep en en
ff f ff f ff f ff f 1 ff f ff f ff f ff f
Podem ser definidas agora duas variáveis que serão de grande importância na
formulação. A primeira delas refere-se a soma entre os deslocamentos paralelos nos
pontos fontes simetricamente opostos das faces da fissura. Essa variável, chamada aqui
de s U ∆ , será utilizada para a substituição dos deslocamentos paralelos situados na face
esquerda da fissura. A outra variável é a soma entre os deslocamentos normais nos
pontos fontes simetricamente opostos nas faces da fissura. Essa soma dá origem a
abertura entre as faces da fissura e será aqui denominada de ∆ U . Assim como no caso
anterior ∆ U será empregado na substituição dos deslocamentos normais da face
esquerda. Assim:
∆ U = U + U ⇒ U = ∆U −U
dp ep ep dp
s f f f s f
∆ U = U + U ⇒ U = ∆U −U
dn en en dn
f f f f
Substituindo os termos apresentados na Eq. (6.10) na Eq. (6.9) obtém-se:
( ) ( )
( ) ( ) 1
A X + H U + H U + H ∆U − U + H ∆U − U = F + G P + G P + G P + G P
dp dp dn dn ep dp en dn dp dp dn dn ep ep en en
cc cf f cf f cf s f cf f cf f cf f cf f cf f
A X + H U + H U + H ∆U − U + H ∆U − U = F + G P + G P + G P + G P
dp dp dn dn ep dp en dn dp dp dn dn ep ep en en
fc ff f ff f ff s f ff f ff f ff f ff f ff f
Agrupando os termos semelhantes da Eq. (6.11) esta pode ser reescrita como:
( ) ( )
( ) ( ) 1
A X + H − H U + H − H U + H ∆ U + H ∆ U = F + G P + G P + G P + G P
dp ep dp dn en dn ep en dp dp dn dn ep ep en en
cc cf cf f cf cf f cf s cf cf f cf f cf f cf f
A X + H − H U + H − H U + H ∆ U + H ∆ U = F + G P + G P + G P + G P
dp ep dp dn en dn ep en dp dp dn dn ep ep en en
fc ff ff f ff ff f ff s ff ff f ff f ff f ff f
Agrupando os termos da equação em um único membro tem-se:
( ) ( )
( ) ( ) 1
Acc X +
Y ( U , P)
=
H
cf
− H
cf
U
f
+ H
cf
− H
cf
U
f
+ H ∆ U
cf s + H ∆U − F − G P
cf cf f
− G P
cf f
− G P
cf f
− G P
cf f
A X + H − H U + H − H U + H ∆ U + H ∆U − F − G P − G P − G P − G P
dp ep dp dn en dn ep en dp dp dn dn ep ep en en
dp ep dp dn en dn ep en dp dp dn dn ep ep en en
fc ff ff f ff ff f ff s ff ff f ff f ff f ff f
Capítulo 6 – Formulações Não Lineares do MEC para a Análise de Problemas de Fratura e Contato
119
(6.8)
(6.9)
(6.10)
(6.11)
(6.12)
(6.13)
A equação de equilíbrio não linear, Eq. (6.13), é geral para qualquer que seja a
lei constitutiva para as tensões coesivas. Isso torna a formulação única e aplicável a uma
vasta categoria de modelos coesivos.