Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

comportamento da mecânica da fratura elástico linear. Será apresentada uma
formulação empregando um operador tangente e também os procedimentos
considerados para o cálculo dos fatores de intensidade de tensão nos modos I e II, o
ângulo de propagação e o fator de intensidade de tensão equivalente.
6.2.1 – Formulação do MEC Para Análise de Problemas de Fratura Elástico Linear via
Operador Tangente Consistente
A formulação que será aqui apresentada para a análise de fratura elástico linear é
muito semelhante à apresentada no item 6.1, para problemas não lineares. A grande
diferença é que nos problemas de fratura elástico lineares não existe uma lei coesiva
para governar o comportamento das forças de superfície após o crescimento das
fissuras. O que ocorre nesses modelos é a ruptura sempre frágil do material, o que faz
com que as forças de superfície atuantes nas faces das fissuras que crescem sejam nulas.
dp dn
Sendo assim, as grandezas a serem determinadas na análise são , , ,
f f
Capítulo 6 – Formulações Não Lineares do MEC para a Análise de Problemas de Fratura e Contato
129
X U U U e U
∆ s ∆ .
De acordo com o discutido acima pode-se reescrever a Eq. (6.13) considerando a
condição de ruptura frágil do material. Assim:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 1 ( ) ( )
Acc X +
Y ( U , P)
=
H
cf
− H
cf
U
f
+ H
cf
− H
cf
U
f
+ H ∆ U
cf s + H ∆U − F −
cf
G
cf
+ G
cf
P
f
− G
cf
+ G
cf
P
f
A X + H − H U + H − H U + H ∆ U + H ∆U − F − G + G P − G + G P
dp ep dp dn en dn ep en dp ep p dn en n
dp ep dp dn en dn ep en dp ep p dn en n
fc ff ff f ff ff f ff s ff ff ff f ff ff f
(6.27)
Portanto os termos do operador tangente consistente para o problema de fratura
elástico linear ficam dados por:
∂Y
⎡ A ⎤
⎡ ⎤ cc
⎢
= ⎢
X A
⎥
∂ ⎥
fc
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
dp ep ( Hcf − Hcf
)
( − )
⎡ ⎡ ⎤
∂Y
⎤
⎢ dp ⎥ = ⎢ ⎥
U dp ep
⎢⎣ ∂ f ⎥⎦
⎢ H ff H ⎥
⎣ ff ⎦
dn en ( Hcf − Hcf
)
( − )
⎡ ⎡ ⎤
∂Y
⎤
⎢ dn ⎥ = ⎢ ⎥
U dn en
⎢⎣ ∂ f ⎥⎦
⎢ H ff H ⎥
⎣ ff ⎦
ep
⎡ ∂Y
⎤ ⎡H ⎤ cf
⎢ ⎥ = ⎢ ep ⎥
⎣∂∆U s ⎦ ⎢⎣ H ff ⎥⎦
en
⎡ ∂Y
⎤ ⎡H ⎤ cf
⎢ en
U ⎥
= ⎢ ⎥
⎣∂∆ ⎦ ⎢⎣ H ff ⎥⎦
(6.28)
(6.29)
(6.30)
(6.31)
(6.32)