Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

A singularidade forte, 1 r , da solução fundamental para forças de superfície, Eq.
(5.6), leva a um comportamento diferente desse termo em relação aos demais já
considerados. O primeiro termo do segundo membro da Eq. (5.22) deve ser avaliado
tomando a parte finita de Cauchy. Para a sua existência os deslocamentos prescritos no
contorno devem obedecer à condição de continuidade de Hölder expressa pela seguinte
relação:
u u B r ϑ
− ≤ ⋅ (5.23)
j j
( c) ( f ) ( f , c)
sendo: B, ϑ constantes reais positivas. B < ∞ e 0 < ϑ ≤ 1 e r ( f , c)
a distância entre os
pontos fonte e campo.
Obedecendo à condição expressa pela Eq. (5.23) o termo analisado pode ser
avaliado no contorno do problema. Já a análise do segundo termo do segundo membro
da Eq. (5.22) será efetuada considerando a expansão dos deslocamentos, em torno do
ponto fonte, em série de Taylor. Será considerado somente o primeiro termo desta série
já que os demais termos anulam-se durante a execução da operação limite. Dessa forma
é possível obter a expressão representada pela Eq. (5.24).
P f c ⋅u c dΓ = P f c ⋅u c dΓ − P f c ⋅u f dΓ + P f c ⋅u f dΓ
(5.24)
∫ ∫ ∫ ∫
* * * *
lim il ( , ) l ( ) lim il ( , ) l ( ) lim il ( , ) l ( ) lim il ( , ) l ( )
ε →0 ε →0 ε →0 ε →0
Γε Γε Γε Γε
Esta expressão pode ser simplificada como:
* * *
∫ Pil f c ⋅ul c dΓ = ∫ Pil f c ⋅( ul c − ul f ) dΓ + ∫ Pil f c ⋅ul f dΓ
(5.25)
lim ( , ) ( ) lim ( , ) ( ) ( ) lim ( , ) ( )
ε →0 ε →0 ε →0
Γε Γε Γε
Levando em conta a continuidade da função de deslocamentos no ponto fonte
tem-se que o primeiro termo do segundo membro da Eq. (5.25) é nulo. Assim:
∫ P f c ⋅u c dΓ = u f ⋅ ∫ P f c dΓ
(5.26)
* *
lim il ( , ) l ( ) l ( ) lim il ( , )
ε →0 ε →0
Γε Γε
Dessa forma verifica-se que a integração e a realização da operação limite do
segundo termo do segundo membro da Eq. (5.22) gera um termo independente que deve
ser, inicialmente isolado, e em seguida adicionado ao termo livre de deslocamento
presente no primeiro termo da Eq. (5.19).
Considerando, portanto os resultados previstos pelas Eq. (5.20), Eq. (5.21) e Eq.
(5.22) a expressão da identidade Somigliana escrita para o contorno é a seguinte:
∫
cil ( f , c)
ul
( f ) +
*
Pil
( f , c)
⋅u
l ( c)
dΓ=
*
Pl
( c)
⋅u
il ( f , c)
dΓ
+
*
uil
( f , c)
⋅bl
Γ
Γ
Ω
∫
⋅ ( c)
dΩ
Capítulo 5 – Método dos Elementos de Contorno __________________________________
∫
97
(5.27)