Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

ponto ( , )
E a matriz hessiana em x da função Lagrangeano associada ao problema PE no
x λ será denotada por:
k k
m
( , λ ) ( ) λ ( )
W = ∇ L x = ∇ f x + ∇ h x
k 2 k k 2 k k 2 k
xx i i
i=
1
Capítulo 10 – Acoplamento entre Modelo Mecano-Fiabilístico e um Algoritmo de Otimização_____
303
∑ (10.5)
* *
Como A, no ponto ótimo, tem posto completo, a solução ótima, ( k , k )
problema PE satisfaz a Eq. (10.3). O passo de Newton da iteração k é dado por:
k + 1 k k
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
x p x
⎢ k + 1⎥
= ⎢ k ⎥ + ⎢ k ⎥
⎣λ ⎦ ⎣ v ⎦ ⎣λ ⎦
Sendo que pk e vk é a solução do seguinte sistema KKT:
( , λ )
( )
t k k
k
⎡ k k
W A ⎤ ⎡ p ⎤ ⎡−∇ xL
x ⎤
⎢ k ⎥ ⎢ k ⎥ = ⎢ ⎥
k
⎣ A 0 ⎦ ⎣ v ⎦ ⎢ −h
x ⎥
⎣ ⎦
Deve ser destacado que a matriz jacobiana da Eq. (10.3) no ponto ( , )
t
⎡ k k
k k k W A ⎤
J = J ( x , λ ) = ⎢ k ⎥
⎣ A 0 ⎦
O passo de Newton está bem definido quando a matriz
x λ , do
x λ é:
k k
(10.6)
(10.7)
(10.8)
k
J é não-singular. Como
esta condição é atendida, o algoritmo de Newton para sistemas não lineares converge
quadraticamente para a solução. Entretanto, o método de Newton tem alguns
inconvenientes:
1) O sistema mostrado na Eq. (10.7) poderá determinar não somente os possíveis
minimizadores locais, mas também os maximizadores e também pontos de sela.
2) A seqüência ( , )
x λ poderá não convergir se a escolha do ponto inicial não
k k
* *
for suficientemente próxima da solução ótima ( k , k )
x λ .
A escolha de um ponto inicial próximo da solução ótima do problema é o
principal inconveniente para a construção do algoritmo geral e real baseado no método
de Newton. Desejando remediar esses inconvenientes e ainda fazer uso da convergência
quadrática do passo de Newton, quando o ponto inicial está próximo da solução ótima,
usa-se o método de Newton associado a outros métodos.
10.1.2 – Estrutura do Método