Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

domínio, como uma linha de carga, precisa ser levada em conta nas equações do MEC.
A linha de carga aparece nas equações como se fosse uma força de massa aplicada num
volume que tende a zero, ou a uma reta, nos casos planos. Tomando a identidade de
Somigliana, Eq. (5.16), a última integral dessa equação referente ao termo de domínio
pode ser reescrita como:
Capítulo 7 – Acoplamento entre Método dos Elementos de Contorno e Método dos Elementos Finitos
169
*
∫ b j ( c) ⋅uij ( f , c) dΩ = ∫
D *
f j ( c) ⋅uij ( f , c) dΩ
E
(7.8)
Ω ΩE
sendo: D
f j é a reação da fibra sobre o domínio, segundo a direção j do sistema
cartesiano.
fundamental
A Eq. (7.8) fica melhor escrita se, ao invés de D
f , for decomposta a solução
*
u ij . Dessa forma:
∫
D *
f j ( c) ⋅uij ( f , c) dΩ E = ∫
D * D
f ( c) ⋅uij ( f , c) dΩ E = ∫
D * *
f ( c) ⋅uij ( f , c) ⋅η jd ΩE
(7.9)
Ω Ω Ω
E E E
*
Na Eq. (7.9) o termo η j indica os cossenos diretores da linha de carga em
relação ao sistema de coordenadas cartesianas. A última integral da Eq. (7.9) pode ser
transformada em uma somatória:
ND
∑
ND NEF
D * *
f ( c) ⋅uij ( f , c) ⋅η jd Ω E = ∑ ∑
D * *
f ( c) ⋅uij ( f , c) ⋅η jd ΩEk
fb= 1Ω E
fb= 1 k = 1 ΩEk
∫ ∫ (7.10)
Nessa notação ND representa o número total de fibras do domínio e NEF o
número total de elementos finitos contidos em cada fibra. Sendo a força aproximada
linearmente sobre as linhas de carga, a Eq. (7.10) pode ser reescrita como:
ND NEF ND NEF
D * * * * D
∑ ∑ ∫ f ( c) ⋅uij ( f , c) ⋅η jd Ω E = ( ( c) u ( , ) ) ( )
k ∑ ∑ ∫ ϕ ⋅ ij f c ⋅η j ⋅ fn c dΩ
E (7.11)
k
fb= 1 k = 1 Ω fb= 1 k = 1
E Ω
k Ek
sendo:ϕ a função de aproximação do carregamento e D
f n os valores nodais do
carregamento atuante sobre as fibras.
As integrais apresentadas na Eq. (7.11) podem ser avaliadas numericamente
empregando-se quadratura de gauss-legendre. Para melhoria de precisão pode ser
utilizado o procedimento de sub-elementação, o qual foi utilizado neste trabalho sendo o
mesmo descrito no Anexo C. Caso o ponto fonte pertença à linha de carga deve-se
calcular a integral empregando-se recursos analíticos. As expressões analíticas para a
integração dessas expressões encontram-se apresentadas nos Anexo A e Anexo B.