Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

mostrados os termos do operador tangente consistente para o caso de escorregamento.
Neste modelo o contato ocorre somente entre as faces de fissuras.
6.3.1 – Formulação com Operador Tangente Consistente para o Caso de Contato sem
Escorregamento e com Escorregamento
Para o desenvolvimento da formulação do problema de contato será retomada a
formulação desenvolvida no item 6.1.5. Para a análise de problemas de contato a
diferença em relação ao caso já discutido no item 6.1.5 são as grandezas que sofrem
variação no processo de Newton-Raphson. Para o caso de contato sem escorregamento
tem-se que tanto s U ∆ quanto ∆ U não sofrem variação durante o processo iterativo, elas
são nulas por definição. Nesse tipo de contato as forças de superfície atuantes nas faces
da fissura, que são a região de contato, são as grandezas a serem determinadas. Assim a
Eq. (6.13) pode ser reescrita considerando essas proposições da seguinte maneira:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 1 ( ) ( )
Acc X +
Y ( U , P)
=
H
cf
− H
cf
U
f
+ H
cf
− H
cf
U
f
+ H ∆ U
cf s + H ∆U − F −
cf
G
cf
+ G
cf
P
f
− G
cf
+ G
cf
P
f
A X + H − H U + H − H U + H ∆ U + H ∆U − F − G + G P − G + G P
dp ep dp dn en dn ep en dp ep p dn en n
dp ep dp dn en dn ep en dp ep p dn en n
fc ff ff f ff ff f ff s ff ff ff f ff ff f
Capítulo 6 – Formulações Não Lineares do MEC para a Análise de Problemas de Fratura e Contato
140
(6.34)
Deve-se salientar que nesse modo de contato o problema a ser resolvido é
elástico linear. A não linearidade surge no momento que o escorregamento ocorre e uma
lei é definida para governar o comportamento das forças de superfície na região do
contato. Portanto os termos do operador tangente consistente para o caso de contato sem
escorregamento ficam dados por:
∂Y
⎡ A ⎤
⎡ ⎤ cc
⎢
= ⎢
X A
⎥
∂ ⎥
fc
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
dp ep ( Hcf − Hcf
)
( − )
⎡ ⎡ ⎤
∂Y
⎤
⎢ dp ⎥ = ⎢ ⎥
U dp ep
⎢⎣ ∂ f ⎥⎦
⎢ H ff H ⎥
⎣ ff ⎦
dn en ( Hcf − Hcf
)
( − )
⎡ ⎡ ⎤
∂Y
⎤
⎢ dn ⎥ = ⎢ ⎥
U dn en
⎢⎣ ∂ f ⎥⎦
⎢ H ff H ⎥
⎣ ff ⎦
dp ep
⎡ ∂Y
⎤ ⎡Gcf + G ⎤ cf
⎢ p ⎥ = − ⎢ dp ep ⎥
⎢⎣ ∂Pf ⎥⎦ ⎢⎣ G ff + G ff ⎥⎦
dn en
⎡ ∂Y
⎤ ⎡Gcf + G ⎤ cf
⎢ n ⎥ = − ⎢ dn en ⎥
⎢⎣ ∂Pf ⎥⎦ ⎢⎣ G ff + G ff ⎥⎦
(6.35)
(6.36)
(6.37)
(6.38)
(6.39)
Para o caso de contato com o escorregamento entre as faces das fissuras deve-se
escolher uma lei para governar o comportamento das forças de superfície atuantes na