Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

Já o segundo e o quarto termos do segundo membro da Eq. (5.60) devem ser
analisados conjuntamente. Esse procedimento deve ser efetuado, pois o segundo termo
gera, depois da integração, um fator com singularidade e assim durante a execução da
operação de limite seu valor tenderá ao infinito. Esta singularidade é contornada com a
soma desses dois termos, já que o quarto termo é uma integral imprópria. A expressão
resultante da soma dos dois termos considerados deve ser analisada por meio da parte
finita de Hadamard podendo ser representada como:
em que: ∫
⎧ ⎫
⎪ ⎪
lim ⎨ Skij ( f , c) ⋅uk ( c) dΓ + uk ( f ) ⋅ Skij ( f , c) dΓ ⎬=
Skij ( f , c) ⋅uk ( c) dΓ
ε →0
− ⎪ Γε Γ
⎩ ⎪
Γ−Γ
⎭
∫ ∫ ∫ (5.62)
integral da parte finita de Hadamard.
PORTELA (1992) apresenta que a singularidade presente no segundo termo do
primeiro membro da Eq. (5.62) é sempre cancelada com outro termo singular liberado
do processo de integração do primeiro termo desse mesmo membro, resultando portanto
um valor finito.
Já o terceiro termo do segundo membro da Eq. (5.60) é integrável e resulta um
termo independente, após a execução da operação limite, que deve ser analisado
separadamente, assim:
uk , m ( f ) ⋅lim Skij
( f , c)
⋅(
xm
( c)
− xm
( f )) dΓ
= Bkijm
( f , c)
⋅u
k , m
ε →0
∫
Γε
( f )
Capítulo 5 – Método dos Elementos de Contorno __________________________________
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(5.63)
O fator B kijm depende das propriedades elásticas do material e também do
sistema de coordenadas empregado.
De forma a propor uma melhor organização do equacionamento os termos
independentes provenientes da análise dos fatores Skij e Dkij
podem ser adicionados de
forma a gerar um único termo independente. PORTELA (1992) apresenta que a junção
dos resultados das Eq. (5.57) e Eq. (5.63) produzem:
1
= ⋅σ
( f )
2
'
'
Akij Pk
− Bkijm
⋅u
k , m
ij
⋅ (5.64)
O fator ½ resulta da consideração de contorno suave no posicionamento do
ponto fonte. Sob essa condição devem ser empregados elementos de contorno
descontínuos para a representação das faces da fissura. Isso ocorre pelo fato do
equacionamento requerer a continuidade da derivada do deslocamento a qual é