Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

ou seja
A condição para que o sistema homogêneo apresente solução diferente da trivial,
⎧ ^ ⎫
⎨η ⎬
⎩ ⎭
={ 0 } , é que o determinante da matriz de seus coeficientes se anule. Dessa
imposição resulta o seguinte polinômio cúbico em λ :
3 2
I1 I2 I3
0
Anexo I – Tópicos da Teoria da Elasticidade______________________________________
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λ − ⋅ λ + ⋅λ − = (I.15)
As raízes do polinômio da Eq. (I.15) são as tensões principais. Nessa equação,
I1 , I2 e I 3 são os invariantes do tensor de tensões, assim denominados, pois possuem o
mesmo valor independente do referencial adotado. Os invariantes são definidos como:
I.8 – Deformações Principais
3
I1 = σ x + σ y + σ z
2 2 2
I = σ ⋅ σ + σ ⋅ σ + σ ⋅σ −σ −σ − σ
(I.16)
2 x y y z x z xy yz zx
2 2 2
x y z 2 xy xz yz x y z
I = σ ⋅σ ⋅ σ + ⋅σ ⋅σ ⋅σ −σ ⋅σ −σ ⋅σ −σ ⋅ σ
yz xz xy
Comportamento análogo ao das tensões pode ser observado também nas
deformações. Isto é, existem direções onde não são observadas deformações
distorcionais ocorrendo somente deformações axiais no corpo. Essas direções são
chamadas de principais e as deformações axiais nessas direções são conhecidas como
deformações principais.
Para se encontrar as deformações principais deve-se, como na Eq. (I.14),
considerar que:
⎡( ε x − λε )
⎢
⎢ ε yx
⎢
⎢ ε
⎣ zx
ε xy
( ε y − λε )
ε zy
⎧ − ⎫
ε η
xz ⎤ ⎪ 1 ⎪
⎥
⎧0⎫ − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
ε yz ⎥ ⋅ ⎨η2 ⎬ = ⎨0⎬ ⎥ ⎪ − ⎪ ⎪
( ε ) 0⎪
z − λε ⎥ ⎪η ⎪ ⎩ ⎭
⎦ 3
⎪⎩ ⎪⎭
O cálculo do determinante resulta, portanto, uma equação cúbica:
3 2
ε I1 ε I2 ε I3
0
(I.17)
λ − ⋅ λ + ⋅λ − = (I.18)
As raízes do polinômio da Eq. (I.18) fornecem as deformações principais, onde
os invariantes do estado de deformação são definidos como:
3
I1 = ε x + ε y + ε z
2 2 2
I = ε ⋅ ε + ε ⋅ ε + ε ⋅ε −ε −ε − ε
(I.19)
2 x y y z x z xy yz zx
2 2 2
x y z 2 xy xz yz x y z
I = ε ⋅ε ⋅ ε + ⋅ε ⋅ε ⋅ε − ε ⋅ε − ε ⋅ε −ε ⋅
ε
yz xz xy