Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

superfície e Ω é o domínio do corpo.
. . .
Q = q ⋅ η dq + ρ ⋅ h dΩ
Capítulo 3 – Mecânica da Fratura e Contato______________________________________
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.
Q representa a energia térmica fornecida.
k k u
∑q Ω
∫ ∫ , sendo q o vetor de condução de calor por unidade de
superfície, u h são as fontes unitárias por unidade de massa e∑q indica as superfícies
sob as quais estão aplicados os carregamentos térmicos. .
Y é a energia potencial interna.
. d ⎛ ⎞
Y = ⎜ ⎟
⎜∫
ρ ⋅λdΩ
dt ⎟
, λ é a densidade de energia interna por unidade de massa.
⎝ Ω ⎠
.
O é a
. d ⎛ 1 . . ⎞ . d
⎛ ⎞
energia cinética. O = ⎜ ⋅ ρ ⋅uk ⋅uk dΩ
⎟
dt ∫ e Z =
⎜ ⎟
⎝ 2
⎜ ∫γdA , γ é a energia necessária
⎟
Ω
⎠ dt
⎝∑
A ⎠
para a formação de novas superfícies (unitárias) da fissura.
Em muitos problemas de engenharia, dentre os quais enquadram-se aqueles
tratados neste trabalho, pode-se admitir que a propagação das fissuras ocorre de forma
quase estática. Nessa condição os campos de velocidades de deslocamento,
desenvolvidos no corpo são pequenos e assim a variação da energia cinética,
.
u ,
k
.
O , que é
proporcional ao quadrado dessa grandeza, pode ser desprezada (deve-se destacar que
essa parcela não pode ser omitida em problemas envolvendo campos dinâmicos).
Outra parcela que pode ser omitida, ainda considerando os problemas tratados
neste trabalho, refere-se a da energia térmica
.
Q . Isso ocorre devido ao fato de
carregamentos térmicos não serem objeto dos estudos aqui propostos. Assim a
propagação das fissuras ocorrerá sob condições adiabáticas. De acordo com as
condições descritas pode-se reescrever o balanço de energia apresentado na Eq. (3.1) da
seguinte forma:
.
W Y + Z
.
.
= (3.2)
Para os problemas onde a Eq. (3.2) é válida, as mudanças que ocorrem ao longo
do tempo são causadas por variações no comprimento das fissuras. Assim, pode-se
minimizar esta expressão, diferenciando seus termos em relação ao comprimento da
fissura, a, de forma a se determinar as condições segundo as quais ocorrerá o
crescimento das fissuras. Sendo assim tem-se:
∂W
∂Y
∂Z
− =
∂a
∂a
∂a
(3.3)