Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

88 R. GROSS Kapitel 3: Das Einelektronenatom3.2 Das Bohrsche AtommodellDie Erklärung des Wasserstoffspektrums war zu Beginn des 20. Jahrhunderts eine der großen Herausforderungenin der Physik. Hierzu war die Entwicklung eines befriedigenden Modells vom Aufbau derAtome notwendig. Neben dem Wasserstoffspektrum musste diese Modell auch die anderen experimentellgesicherten Erkenntnisse wie die Stabilität der Atome, das Periodensystem der Elemente, die chemischeBindung oder die Ionisationsenergie von Atomen erklären. Durch die Lenard-RutherfordschenStreuversuche wurde klar, dass Atome aus einem positiv geladenen Kern und einer negativ geladenenElektronenhülle bestehen. Rutherford schloss daraus, dass ein Atom als ein verkleinertes Planetensystemzu betrachten sei. Dieses Modell kann aber bereits zwei fundamentale Eigenschaften der Atomenicht erklären, ihre Stabilität und ihre diskreten Anregungsenergien. Aus der Elektrodynamik wissenwir nämlich, dass jedes beschleunigte geladene Teilchen – und darum handelt es sich bei einem auf einerKreisbahn rotierenden Elektron – elektromagnetische Strahlung erzeugt 6 und somit kontinuierlichEnergie verliert, was zwangsläufig zur Reduktion von r führen muss. Das System ist somit instabil, d.h.das klassische Elektron wandert auf einer Spiralbahn in den Kern. Ferner sind alle elliptischen Bahnenmöglich, in deren einem Brennpunkt der Kern liegt. Da diese Bahnen alle unterschiedliche Energienbesitzen, würde man ein kontinuierliches Anregungsspektrum erwarten.Der entscheidende Schritt bei der Beseitigung der Unzulänglichkeiten des Rutherfordschen Atommodellsgelang 1913 Niels Bohr. Er entwickelte ein rein mechanisches Modell des Wasserstoffatoms, indem das Elektron auf Keplerbahnen, speziell auf einer Kreisbahn, um den Atomkern kreist. Die Gleichgewichtsbedingungfür eine solche Bahn ist leicht anzugeben: Die Coulomb-Anziehung zwischen positivgeladenem Kern und der negativen Elektronenladung muss durch die Zentrifugalkraft kompensiert werden.Man muss also fordern, dass1 e 24πε 0 r 2 = m e ω 2 r = m ev 2r. (3.2.1)Hierbei ist m e die Masse und v die Bahngeschwindigkeit des Elektrons, r ist der Bahnradius. DieseBedingung erlaubt beliebige Bahnradien. Die Gesamtenergie des Elektrons auf einer Bahn mit Radius ristE(r) = E kin (r) + E pot (r) =( )1 e24πε 0 2r − e2r= − 14πε 0e 22r . (3.2.2)Nun wissen wir aber, dass das betrachtete System aufgrund der Abstrahlung von elektromagnetischerStrahlung nicht instabil ist: das klassische Elektron wandert auf einer Spiralbahn in den Kern. Um dieseKatastrophe zu verhindern, postulierte Bohr, dass das Elektron nur ganz bestimmte Bahnen einnehmenkann, die durch2πr n = n λ n = 1,2,3,... (3.2.3)6 Mit Hilfe dieses Effekts wird Synchotronstrahlung erzeugt. Dabei werden Elektronen durch elektromagnetische Felder aufmehr oder weniger kreisförmige Umlaufbahnen gezwungen. Die abgestrahlte Energie muss ständig durch Beschleunigungsfelder(Microwave cavities) nachgeliefert werden.c○Walther-Meißner-Institut