Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

114 R. GROSS Kapitel 3: Das EinelektronenatomR(r) = f (r)r. (3.3.68)Einsetzen in (3.3.67) ergibtd 2 ( [ ] )f 2µdr 2 + ¯h 2 E + Ze2 l(l + 1)−4πε 0 r r 2 f = 0 . (3.3.69)Für r → ∞ dürfen wir alle Terme in der runden Klammer, die negative Potenzen von r enthalten, gegenüberdem konstanten Glied vernachlässigen und erhalten somitd 2 ( )f 2µdr 2 + ¯h 2 E f = 0 . (3.3.70)Die Lösungen dieser Gleichung schreiben sich alsf (r → ∞) = A + exp(ikr) + A − exp(−ikr) . (3.3.71)mitk =√2µE¯h 2 . (3.3.72)Falls E > 0, ist k eine reelle Zahl, und wir erhalten für R(r) = f (r)/r wie in der Optik auslaufende undeinlaufende harmonische Kugelwellen. Die auslaufenden Wellen entsprechen Elektronen, die am Kerngestreut werden (siehe Abb. 3.12).Wir interessieren uns hier allerdings nur für gebundene Zustände, d.h. für Zustände mit E < 0. In diesemFall ist k komplex und wir haben es im asymptotischen Bereich mit exponentiell abfallenden bzw.ansteigenden Wellenfunktionen zu tun:f (r → ∞) = B + exp(+κr) + B − exp(−κr) . (3.3.73)mitc○Walther-Meißner-Institut