Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 7.1 PHYSIK IV 2410E pot/ (e 2 /4πε o)-3-6-9-12- e²/4πε 0 r-Ze²/4πε 0 reφ Zeff-150.0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5r / a BAbbildung 7.2: Effektive potentielle Energie Epot(r) eff = eφZ eff (r) nach (7.1.12). Das effektive Potenzial interpoliertzwischen dem kernnahen Bereich (∝ −Z/r) und dem Fernfeld (∝ −1/r).spüren. Dies würde einem Abschirmparameter Σ = 0 entsprechen. Für sehr große Abstände wird dasKernpotenzial durch die Z − 1 Restelektronen abgeschirmt. Wir erhalten also ein effektives Potenzialφ Z (r i ) = − e4πε 0 r ir i → ∞ , (7.1.9)welches dem Potenzial eines Elektrons im Wasserstoffatom (bzw. einem Abschrimparameter Σ = Z − 1)entspricht. 4 Zwischen den beiden Grenzen können wir einen glatten Übergang erwarten. Dies ist inAbb. 7.2 gezeigt. Mittelt man über verschiedene Abstände, so erhält man einen mittleren AbschirmparameterΣ.Wir betrachten den Fall des Heliumatoms noch etwas genauer. Da die Ladungsverteilung des abschirmendenElektrons e 2 , das sich im 1s-Zustand befinden soll, durchρ 2 = e · Ψ ⋆ 2(1s)Ψ 2 (1s) (7.1.10)gegeben ist, erhalten wir für die potentielle Energie des anderen Elektrons⎛E pot (r 1 ) = − e2 ⎝ Z ∫−4πε 0 r 1ϑ∫ϕ∫Ψ ⋆ 2 Ψ 2r 12r 2dV 2⎞⎠ . (7.1.11)4 Diesen Fall hatten wir bereits im Zusammenhang mit den Rydbergatomen kennengelernt. Da hier ein Elektron einenZustand mit sehr großer Quantenzahl und deshalb sehr großem mittleren Bahnradius besetzt, ist (7.1.9) eine sehr gute Näherungfür das effektive Potenzial.2003