Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

230 R. GROSS Kapitel 6: Übergänge zwischen Energieniveausnach E k müssen bei der Bildung des Erwartungswerts natürlich die Wellenfunktionen beider Zuständeberücksichtigt werden und wir erhalten∫〈p elik 〉 = M ik = eΨ ⋆ n i ,l i ,m i ̂r Ψ nk ,l k ,m kdV . (6.4.46)Ersetzen wir in (6.4.44) den klassischen Mittelwert p 2 eldurch den quantenmechanischen Ausdruck 2012 (|M ik| + |M ki |) 2 = 2|M ik | 2 , so erhalten wir für den Mittelwertp 2 el= 1 2 p2 0 = 1 2 (|M ik| + |M ki |) 2 = 2|M ik | 2 . (6.4.47)Der dabei auftretende Faktor 2 kommt also dadurch zustande, dass wir klassisch die Matrixelemente M kiund M ik nicht unterscheiden können. Für die im Mittel von einem Atom auf Grund des Übergangs von|i〉 nach |k〉 emittierte Leistung erhalten wir somitP ik = 4 3ω 4 ik4πε 0 c 3 |M ik| 2 = 4 3e 2 ω 4 ik4πε 0 c 3 |〈i|̂r|k〉|2 . (6.4.48)Die Strahlungsleistung ist also umso intensiver, je höher die Frequenz. Das Ergebnis kann, indem mandurch ¯hω teilt, unmittelbar in eine Photonenemissionsrate konvertiert werden, welche wiederum derZerfallsrate des Zustandes entspricht. Mit dN i /dt = −A ik N i und 〈P ik 〉 = A ik¯hω ik erhalten wird dN i /dt =−〈P ik 〉N i /¯hω ik .Wir erhalten somit für die Zahl der durch spontane Emission pro Zeiteinheit und Kanal zerfallendenNiveaus dN i /dt und den Einsteinkoeffizienten A ikdN idt= − 4 e 2 ωik33 4πε 0¯hc 3 |〈i|̂r|k〉|2 N i (6.4.49)e 2 ωik34πε 0¯hc 3 |〈i|̂r|k〉|2 = 4 e 2 ω 3 ∣ik ∣∣∣ ∫3 4πε 0¯hc 3 Ψ ⋆ 2n i ,l i ,m i ̂r Ψ nk ,l k ,m kdV∣ . (6.4.50)A ik = 4 3Angeregte Zustände leben also sehr viel länger, wenn sie nur durch kleine Energiedifferenzen von denihnen zugänglichen tieferliegenden Niveaus getrennt sind. Dies ist z.B. bei Rydberg-Atomen der Fall(vergleiche Abschnitt 5.3).20 siehe z.B. W. Weizel, Lehrbuch der Theoretischen Physik, Band 2, S. 908, Springer Berlin (1958).c○Walther-Meißner-Institut