Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

12 R. GROSS Kapitel 1: Einführung in die Quantenphysik(a)(b)v grAmplitude ΨAmplitude Ψ2∆x = 2π/∆kOrt xOrt xAbbildung 1.2: Wellenpaket als Überlagerung von unendlich vielen Wellen mit Frequenzen ω im Bereichω 0 ± ∆ω und konstanten Amplituden Ψ(k) = Ψ 0 (k 0 ) (a) und einer Gauss-förmigen Amplitudenverteilungnach (1.2.14).Ψ(x,t) = A(x,t)exp[i(k 0 x − ω 0 t)] (1.2.9)mitA(x,t) = 2Ψ 0 (k 0 ) sin(u∆k)u. (1.2.10)Die Funktion Ψ(x,t) beschreibt also eine ebene Welle, deren Amplitude A bei u = 0, also bei x max =(dω/dk) k0 t ein Maximum hat (siehe Abb. 1.2). Wir bezeichnen diese Funktion Ψ(x,t) als Wellenpaket.Die Funktion (1.2.10) hat Nullstellen die ersten Nullstellen bei u∆k = ±π, das heißt der Abstandzwischen den beiden ersten Nullstellen ist 2∆u = 2π/∆k. Für eine feste Zeit t = t 0 erhalten wir damit2∆x = 2π/∆k.Die genaue Form des Wellenpakets hängt von der Größe des Intervals ∆k und von der AmplitudenverteilungΨ 0 (k) ab. Sein Maximum bewegt sich mit der Geschwindigkeitv gr =( ) dω(1.2.11)dkk=k 0in x-Richtung. Aus den Relationenω = Ē h = p22m¯h = ¯hk22m(1.2.12)c○Walther-Meißner-Institut