Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 6.4 PHYSIK IV 231Vertiefungsthema:Übergangswahrscheinlichkeit für die Absorption und die stimulierte EmissionWollen wir die Übergangswahrscheinlichkeit für die Absorption und die stimulierte Emission berechnen,so spielt die spektrale Energiedichte u(ω) des anregenden elektromagnetischen Feldes eine Rolle. Wirddie elektromagnetische Welle durch eine ebene WelleE = E 0 · exp[i(k · r − ωt)]beschrieben, die auf ein Atom mit dem Atomkern am Ort r = 0 trifft, so ergibt die quantenmechanischeBehandlung 21 für die Wahrscheinlichkeit W ki , dass das Atom pro Sekunde ein Photon absorbiert unddadurch vom Zustand k in den Zustand i übergehtW ki = πe22¯h 2 ∣ ∣∣∣ ∫Ψ ⋆ n k ,l k ,m kE 0 exp(ik · r) · r Ψ ni ,l i ,m idV∣2. (6.4.51)Wir können nun wiederum die Dipolnäherung |exp(ikr)| ≃ 1 verwenden und erhalten mit dem Einheitsvektorê = E/|E|W ki = πe22¯h 2 E2 0∫∣Ψ ⋆ n k ,l k ,m k ê · r Ψ ni ,l i ,m idV∣2. (6.4.52)Wir sehen, dass W ki vom Skalarprodukt ê · r, also von der relativen Orientierung des anregenden FeldesE und dem Dipolmoment p el = e · r des Atoms abhängt.Für ein isotropes Strahlungsfeld erhalten wir für das über alle Richtungen gemittelte Skalarprodukt|ê · r| 2 = 1 3 |r|2 . Benutzen wir ferner, dass die spektrale Energiedichte u(ω) des anregenden elektromagnetischenFeldes durch u(ω) = 1 2 ε 0E0 2 ausgedrückt werden kann, so erhalten wir die Absorptionswahrscheinlichkeitpro Sekunde und Atom zuW ki = πe23ε 0¯h 2 u(ω) ∣ ∣∣∣ ∫Ψ ⋆ n k ,l k ,m kr Ψ ni ,l i ,m idV∣2. (6.4.53)Durch Vergleich mit W ki = B ki u(ω) (siehe (6.1.2)) folgt für den Einstein-Koeffizienten B ki der AbsorptionB ki = 2 3π 2 e 2 ∣ ∣∣∣ ∫ε 0¯h 2Ψ ⋆ n k ,l k ,m k ̂r Ψ ni ,l i ,m idV∣2. (6.4.54)21 siehe z.B. S. Flügge, Rechenmethoden der Quantentheorie, Spriger Berlin (1993).2003