Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

26 R. GROSS Kapitel 1: Einführung in die QuantenphysikLösungen der stationären Schrödinger-GleichungFür einige einfache, eindimensionale Probleme (z.B. Teilchen im unendlich hohen Potenzialtopf undharmonischen Oszillatorpotenzial, Durchgang durch Potenzialschwelle) wurden die Lösungen derSchrödinger-Gleichung bereits in der Physik III abgeleitet. Auf eine Diskussion dieser Lösungen wirddeshalb hier verzichtet.Die Interpretation der ZustandsfunktionBisher wissen wir nur, dass die Zustandsfunktion Ψ(r,t) eine Lösung der Schrödinger-Gleichung ist.Wie aber muss diese Lösung physikalisch interpretiert werden? Die erste Interpretation gab Schrödingerselbst und basiert auf dem Begriffsbild der klassischen Physik. Die Wellenoptik verknüpft nämlich mitdem Absolutquadrat der Amplituden |E| 2 = E ⋆ E die Intensität einer Welle. Es stellte sich deshalb dieFrage, ob nicht auch die Größe |Ψ| 2 = Ψ ⋆ Ψ einer messbaren Eigenschaft des mit der Zustandsfunktionbeschriebenen Quantenobjekts zugeordnet werden kann. Um diese Frage zu klären, können wir einenTeilchenstrom voneinander unabhängiger, nicht wechselwirkender Teilchen 16 betrachten und uns dieFrage stellen, wie viele Objekte dN sich zu einer bestimmten Zeit t in einem bestimmten Volumen dVbefinden.Wir haben bereits in Physik III gesehen, dass wir aus der Schrödinger-Gleichung eine Art Kontinuitätsgleichung∂∂t ρ T + ∇ · J T = 0 (1.3.10)mitJ =[ ]¯h2mi (Ψ⋆ ∇Ψ − Ψ∇Ψ ⋆ )(1.3.11)undρ T ≡ |Ψ(r,t)| 2 = Ψ ⋆ (r,t)Ψ(r,t) (1.3.12)ableiten können. Interpretiert man J T als Teilchenstromdichte, das heißt den Teilchenstrom durch die einVolumen dV einschließende Oberfläche, dann entspricht (1.3.10) der Kontinuitätsgleichung der Elektrodynamik.Die Größe ρ T = Ψ ⋆ Ψ entspricht dann der Teilchenzahldichte. 1716 Die Schrödinger-Gleichung enthält keine Wechselwirkungsterme.17 Man erkennt dies, wenn man (1.3.10) über ein endliches Volumen integriert∫∇ · J T dV = − ∂ ∫ρ T dV∂tVVund das linke Integral mit Hilfe des Gaußschen Satzes in ein Oberflächenintegral über die das Volumen umschließende OberflächeA überführt:∮J T dA = − ∂ ∫ρ T dV.∂tAVDas rechte Integral gibt die zeitliche Änderung der Teilchenzahl im Volumen V an. Diese kann nur durch einen Teilchenflussdurch die das Volumen umschließende Oberfläche erfolgen. Deshalb gibt J T eine Teilchenströmung und ρ T eine Teilchendichtean.c○Walther-Meißner-Institut