Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

106 R. GROSS Kapitel 3: Das Einelektronenatom• Die Quadrate der Kugelflächenfunktionen |Y ml| 2 geben an, mit welcher Wahrscheinlichkeit dasElektron, welches sich in den Drehimpulszuständen (l,m) befindet, unter einer bestimmten Richtung(ϑ,ϕ) aufzufinden ist. Es gibt eine Reihe von graphischen Darstellungsmöglichkeiten. Einedavon ist in Abb. 3.9 gezeigt. ϕ tritt in der Aufenthaltswahrscheinlichkeit nicht mehr auf.• Die Funktionen Y ml(ϑ,ϕ) sind zueinander orthogonal, d.h.∫ π∫2πϑ=0 ϕ=0Y ml (ϑ,ϕ)Y m′l ′ (ϑ,ϕ) sinϑdϑdϕ = δ l,l ′ δ m,m ′ . (3.3.36)• Die Wahrscheinlichkeitsamplitude über alle m-Werte aufsummiert ergibt eine Kugelverteilung.Besetzt man somit jedes Orbital mit einem Elektron, so ergibt sich eine kugelsymmetrische Ladungsverteilung,die besonders stabil ist. Natürlich müsste es sich dabei um hypothetische nichtuntereinander wechselwirkende Elektronen handeln, damit die Eigenfunktionen des Einelektronenatomsweiterhin auch Eigenfunktionen dieses Mehrelektronenatoms darstellen. Wir kommenspäter auf diese Problematik zurück.3.3.4 Der DrehimpulsBevor wir die Lösung des radialabhängigen Anteils der Schrödinger-Gleichung in Angriff nehmen, wollenwir noch einige Bemerkungen zum Drehimpuls machen. Den Drehimpulsoperator können wir inkartesischen Koordinaten als (vergleiche (1.3.34) - (1.3.34))(ˆL x = −i¯h y ∂ ∂z − z ∂ )∂y(ˆL y = −i¯h z ∂ ∂x − x ∂ )∂z(ˆL z = −i¯h x ∂ ∂y − y ∂ )∂x(3.3.37)(3.3.38)(3.3.39)schreiben.In Kugelkoordinaten (siehe Abb. 3.6) erhält man mit Hilfe der Transformationsgleichungen zwischen(x,y,z) und (r,ϑ,ϕ)∂∂x= ∂r ∂∂x ∂r + ∂ϑ∂x∂∂ϑ + ∂ϕ∂x∂∂ϕ(3.3.40)sowie die entsprechenden Ausdrücke für y und z. Damit erhält man für die Komponenten des Drehimpulses(siehe hierzu Anhang C)c○Walther-Meißner-Institut