Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

130 R. GROSS Kapitel 3: Das EinelektronenatomDie Dirac-GleichungWir wollen in diesem Unterabschnitt kurz den Zusammenhang zur Dirac-Gleichung herstellen. DieSchrödinger-Gleichung behandelt, wie bereits erwähnt wurde, Ort und Zeit unterschiedlich. Dies liegtdaran, dass ihr die nichtrelativistische Energie-ImpulsbeziehungE = p22m(3.4.16)zu Grunde liegt. Eine relativistische Wellengleichung muss auf einem Lorentz-invarianten Ausdruckaufbauen, wie er durch die RuhemasseE 2 − p 2 c 2 = m 2 0c 4 (3.4.17)gegeben ist. Die entsprechende Wellengleichung ist die Klein-Gordon-Gleichung, die sich mit Ê = i ∂ ∂tund ̂p = −i¯h∇ als− ¯h 2 ∂ 2∂t 2 Ψ = ( −¯h 2 c 2 ∇ 2 + m 2 0c 4) Ψ (3.4.18)schreiben lässt. Aus (3.4.17) ergibt sich√E = ± p 2 c 2 + m 2 0 c4 . (3.4.19)Die negativen Energiewerte wurden zuerst von Dirac als Indiz für die Existenz von Antiteilchen gedeutet.In obiger Form werden die Orts- (p) und Zeitkomponenten (E/c) des Vierervektors (E/c,p) weiterhinnicht gleichberechtigt behandelt.Paul A. M. Dirac (1902-1984) untersuchte die Möglichkeit, den Ausdruck in (3.4.19) zu linearisieren: 31√E = ± p 2 c 2 + m 2 0 c4 = c(α · p) + βm 0 c 2 . (3.4.20)Die entsprechende Wellengleichung lautet31 Zitat von Dirac: “A great deal of my work is just playing with equations and seeing what they give. I don’t suppose thatapplies so much to other physicists; I think its a peculiarity of myself that I like to play about with equations, just looking forbeautiful mathematical relations which maybe don’t have any physical meaning at all. Sometimes they do.”c○Walther-Meißner-Institut