Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 9.1 PHYSIK IV 3256E - E 1s(eV)420-2E s (R)E(R 0) – E 1s= - 1.77 eVR 0= 2.49 a B= 0.132 nmE a (R)0 1 2 3 4 5 6R / a BAbbildung 9.9: Energiefunktionen E s (R) und E a (R) für symmetrische und antisymmetrische Elektronendichteverteilungenberechnet mit (9.1.26).H AA = H BB =H AB = H BA =∫∫φ ⋆ AĤφ Ad 3 r =φ ⋆ AĤφ Bd 3 r =∫∫φ ⋆ BĤφ Bd 3 r (9.1.24)φ ⋆ BĤφ Ad 3 r . (9.1.25)Die Ausdrücke H AB in (9.1.25) werden als Austauschterme bezeichnet. Sie unterscheiden sich von denTermen H AA in (9.1.24) dadurch, dass im Integral φ ⋆ A φ A durch φ ⋆ B φ A ersetzt wird. Die Austauschtermesind rein quantenmechanischer Natur und besitzen, da φ ⋆ B φ A nicht als Ladungsdichte interpretiert werdenkann, im Gegensatz zu den mit φ ⋆ A φ A verbundenen Coulomb-Termen kein klassisches Analogon. 8Auf ein explizites Ausrechnen der Terme H AA , H AB und S AB wollen wir hier verzichten und nur das Ergebnisfür die resultierenden Energiefunktionen angeben (eine Herleitung wird in Anhang F angegeben):E s,a = E 1s + H 1 ρ(1 + ρ) 2 e −2ρ ± (1 − 2 3 ρ2 )e −ρ1 ± (1 + ρ + 1 3 ρ2 )e −ρ (9.1.26)angeben. Hierbei ist ρ = R/a B und E 1s = −13.6 eV die Bindungsenergie des 1s-Zustandes des Wasserstoffatoms.Die dabei gewählte neue Energieeinheit H = 2E 1s = −27.211 eV bezeichnet man als einHartree.A bzw. B bezogen sind, auf einen gemeinsamen Ursprung transformiert werden. Die Lösung von Integralen der Form∫ e −r A /a Be −r B/a BI(R) =d 3 rr A r Bwird am besten in konfokalen elliptischen Koordinaten vollzogen.8 Wir können dies auch so formulieren. Der Ausdruck φ ⋆ B φ A ist kein Quadrat einer Wahrscheinlichkeitsamplitude und somitnicht als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretierbar. Es handelt sich, um einen Begriff aus der Optik zu benutzen, um dieInterferenz von Wahrscheinlichkeitsamplituden. Die chemische Bindung ist eine Folge dieser Interferenz.2003