Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 3.3 PHYSIK IV 109Eigenwerte von ̂L 2 und ̂L zWir wenden uns jetzt dem Problem der Eigenwerte der Operatoren ̂L 2 und ̂L z zu. Wir haben gesehen, dasŝL 2 und ̂L z mit dem Hamilton-Operator Ĥ vertauschbar sind. Demzufolge besitzen die drei Operatoren ̂L 2und ̂L z und Ĥ das gleiche System von Eigenfunktionen. Ferner wissen wir, dass ̂L 2 bis auf den Faktor¯h 2 dem Winkelanteil Schrödinger-Gleichung (3.3.15) entspricht. Die Eigenfunktionen des Winkelanteilsdes Hamilton-Operators haben wir aber bereits ermittelt, es sind die Kugelflächenfunktionen. DurchAnwenden der Operatoren ̂L 2 und ̂L z auf die Eigenfunktionen des Hamilton-Operators Ĥ können wirdeshalb die Eigenwerte L 2 und L z bestimmen.Wenden wir ̂L 2 auf die Eigenfunktionen Ψ(r,ϑ,ϕ) = R(r)Y ml(ϑ,ϕ) an, so erhalten wir 16̂L 2 Ψ = ̂L 2 R(r) ·Yl m (ϑ,ϕ) = R(r) · ̂L 2 Yl m (ϑ,ϕ) = L 2 R(r)Yl m (ϑ,ϕ) = L 2 Ψ= R(r) · l(l + 1)¯h 2 ·Yl m (ϑ,ϕ) (3.3.54)= l(l + 1)¯h 2 Ψ . (3.3.55)Hierbei haben wir ausgenutzt, dass ̂L 2 bis auf den Faktor ¯h 2 dem Winkelanteil Schrödinger-Gleichung(3.3.15) entspricht. Der Erwartungswert für das Quadrat des Drehimpulses L ist deshalb〈L 2 〉 =∫Ψ ⋆̂L 2 ΨdV = l(l + 1)¯h 2 ∫Ψ ⋆ ΨdV = l(l + 1)¯h 2 , (3.3.56)weil für die normierten Funktionen ∫ Ψ ⋆ ΨdV = 1 gilt. Die ganze Zahl l ≥ 0 heißt Drehimpulsquantenzahl.Für den Betrag des Drehimpulses erhalten wir〈|L|〉 = √ l(l + 1) ¯h l = 0,1,2,3,... . (3.3.57)Wir haben bereits gesehen, dass eine Besonderheit des Drehimpulses von Quantenteilchen die Tatsacheist, dass nach der Festlegung des Betrages des Drehimpulsvektors nur noch eine Komponente des Drehimpulsesbestimmt werden kann. Es ist allgemeine Konvention, hierfür die z-Komponente zu benutzen.Mit Ψ(r,ϑ,ϕ) = R(r)θ(ϑ)φ(ϕ) und φ(ϕ) = √ 12πexp(imϕ) erhalten wir̂L z Ψ = −i¯h ∂∂ϕ [R(r)θ(ϑ)φ(ϕ)] = R(r)θ(ϑ) · L z φ(ϕ) = L z Ψ= −i¯hR(r)θ(ϑ) ∂ 1√ exp(imϕ)∂ϕ 2π= m¯h Ψ . (3.3.58)Die Eigenwerte von L z sind daher16 Der noch unbekannte Radialanteil R(r) braucht uns hier nicht zu stören, da ̂L 2 nur auf den Winkelanteil wirkt.2003