Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 1.2 PHYSIK IV 13folgt dannv gr =( ) dω= ¯hk 0dkk 0m= p Tm = v T . (1.2.13)Wir können damit folgende wichtigen Punkte zusammenfassen:• Teilchen können durch Wellenpakete beschrieben werden. Die Gruppengeschwindigkeitdes Wellenpakets ist gleich der Teilchengeschwindigkeit.• Der Wellenvektor k 0 des Gruppenzentrums bestimmt den Teilchenimpuls p T =¯hk 0 .• Im Gegensatz zur ebenen Welle ist das Wellenpaket räumlich lokalisiert. SeineAmplitude hat nur in einem beschränkten Raumgebiet ∆x eine große Amplitude.Für die Fußbreite des zentralen Maximums erhält man wegen ∆k ≤ 2k 0 die Beziehung∆x = 4π/∆k ≥ 2π/k 0 = λ. Die Breite des Wellenpakets ist also mindestensso groß wie die de Broglie Wellenlänge.Es sei hier noch darauf hingewiesen, dass die zusätzlichen Nebenmaxima in Abb. 1.2a verschwinden,wenn man für die Amplitudenverteilung der Teilwellen eine Gauss-VerteilungΨ 0 (k) = Ψ 0 (k 0 )exp(− (k − k 0) 2 )2(∆k) 2(1.2.14)annimmt (siehe Abb. 1.2b).Obwohl es zunächst so aussieht, als ob wir das Wellenpaket als geeignetes Wellenmodell des Teilchensbetrachten können, treten bei näherer Betrachtung doch folgende Probleme auf:• Die Funktion Ψ(x,t) kann komplexe und auch negative Werte annehmen, die nicht unmittelbar miteiner Messgröße verknüpft werden können.• Die Breite des Wellenpakets wird aufgrund der Dispersion der Materiewellen im Laufe der Zeitgrößer (siehe unten). Es verändert also im Gegensatz zu einem klassischen Teilchen bei der Ausbreitungim Raum seine Form.• Ein elementares Teilchen wie das Elektron stellen wir uns als unteilbar vor. Ein Wellenpaket kanndagegen mit Hilfe eines Strahlteilers in zwei Komponenten aufgeteilt werden, die sich dann inverschiedene Richtungen weiterbewegen.Diese Schwierigkeiten bewogen Max Born 1927 dazu, eine statistische Deutung der Materiewellen zugeben, die im Abschnitt 1.3.1 vorgestellt wird.1.2.2 Die Heisenbergsche UnschärferelationWir betrachten ein Wellenpaket mit einer Gauss-förmigen Amplitudenverteilung2003