Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

38 R. GROSS Kapitel 1: Einführung in die Quantenphysikddt 〈Â〉 = ī h∫+∞−∞ĤΨ ⋆ Â Ψ dV +∫+∞−∞Ψ ⋆ ∂Â∂t Ψ dV − ī h∫+∞−∞Ψ ⋆ ÂĤ Ψ dV . (1.3.55)Aufgrund der Hermitezität des Hamilton-Operators folgt∫+∞−∞ĤΨ ⋆ Â Ψ dV =∫+∞−∞Ψ ⋆ ĤÂ Ψ dV (1.3.56)und damitddt 〈Â〉 =∫+∞−∞(Ψ ⋆ i¯h)(Ĥ − ÂĤ)+ ∂Â Ψ dV . (1.3.57)∂tVergleichen wir (1.3.57) mit (1.3.52), so sehen wir, dass wir der zeitlichen Änderung der Observablen Aden Operatorddt 〈Â〉 = ī (Ĥ − ÂĤ)+ ∂Âh∂t(1.3.58)zuordnen können. Der Ausdruck (1.3.58) gestattet es, die zeitliche Änderung jedes Operators und damitdie zeitliche Änderung der Messwerte der Observablen zu bestimmen. Man nennt diesen Ausdruckdeshalb allgemeine Bewegungsgleichung der Quantenmechanik.Im Allgemeinen ist der Kommutator [Ĥ,Â] = Ĥ − ÂĤ ≠ 0. Nur der Kommutator vertauschbarer Operatorenverschwindet. Hängt der Operator  nicht explizit von der Zeit ab (∂Â/∂t = 0) und ist der Kommutator[Ĥ,Â] = 0, das heißt  vertauscht mit em Hamilton-Operator Ĥ, dann ist dÂdt= 0. Die ObservableA ist dann wie eine Erhaltungsgröße der klassischen Mechanik zeitlich konstant, wir sprechen von einerErhaltungsobservablen.1.3.7 Vertiefungsthema:Vertauschungsrelationen und Heisenbergsche UnschärferelationDas Produkt  ̂B zweier Operatoren  und ̂B ist im Allgemeinen nicht kommutativ,  ̂B ≠ ̂BÂ. Man sagtdann, dass die Operatoren nicht vertauschbar sind. Zur Charakterisierung der Vertauschbarkeit von Operatorenverwenden wir den Begriff Kommutator:[Â, ̂B] = −[ ̂B,Â] =  ̂B − ̂B Kommutator von  und ̂B (1.3.59)c○Walther-Meißner-Institut