Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

210 R. GROSS Kapitel 6: Übergänge zwischen EnergieniveausDie genaue Bedeutung der Dämpfungskonstanten Γ diskutieren wir später.Um die spektralen Anteile der gedämpften Welle zu ermitteln, schreiben wir E(t) als Fourier-IntegralE(t) = 12π∫ ∞−∞F(ω)exp(iωt)dω , (6.3.5)wobei für die Fourier-KoeffizientenF(ω) =∫ ∞−∞Θ(t)E(t)exp(−iωt)dt (6.3.6)gilt. Hierbei ist Θ(t) die Heavyside Funktion, die für t < 0 verschwindet und für t ≥ 0 den Wert einsbesitzt. Für den gedämpften Wellenzug (6.3.4) erhalten wir[]1F(ω) = −E 0i(ω 0 − ω) − (Γ/2). (6.3.7)Wir erhalten damit die spektrale Leistungsdichte P ω (ω) ∝ F(ω)F ⋆ (ω) der Spektrallinie zuP ω (ω) ∝ |F(ω)| 2 = E 2 01(ω − ω 0 ) 2 + (Γ/2) 2P ω (ω) = P 0Γ/2π(ω − ω 0 ) 2 + (Γ/2) 2 . (6.3.8)Dabei ist der Faktor im Zähler der zweiten Zeile gerade so gewählt, dass ∫ ∞0 P(ω)dω = P 0, d.h. dassdie Integration der spektralen Leistungsdichte über die Frequenz gerade P 0 ergibt. 7 Ein Kurve dieserForm bezeichnet man als Lorentz-Kurve (siehe Abb. 6.6b), weshalb man das Profil der Spektrallinien alsLorentz-Profil bezeichnet. Die Lorentzkurve ist im Zentralbereich spitzer als eine Gauss-Kurve und fälltweiter entfernt von der Mittenfrequenz langsamer ab als eine Gauss-Kurve.Es lässt sich leicht zeigen, dass die Dämpfungskonstante Γ gerade die volle Breite beim halben Wertder Maximalintensität angibt (FWHM). Aus dem oben diskutierten Zusammenhang folgt dann für dienatürliche Linienbreiteδω nat = Γ = 1 τ i+ 1 τ k. (6.3.9)7 Manchmal wird für P 0 auch die spektrale Leistungsdichte im Maximum der Kurve verwendet, dann ergibt sich der Faktorim Zähler zu Γ 2 /4.c○Walther-Meißner-Institut