Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

424 R. GROSS Kapitel 11: Statistische Beschreibungp(m) = n(m)∑n(m) = 1 n(m) , (11.4.1)qmwobei n(m) die Trefferzahl des Zustandes |m〉 bezeichnet. Dieser Ausdruck ist äquivalent zur Wahrscheinlichkeit(11.1.2), eine bestimmte Augenzahl beim Würfeln mit N Würfeln zu erhalten. Wir bemerken,dass die Definition der Wahrscheinlichkeit festlegt, dass∑ p(m) = 1 . (11.4.2)mDas heißt, die Gesamtwahrscheinlichkeit, das System in irgendeinem Zustand anzutreffen, ist eins.Die durch (11.4.1) definierte Wahrscheinlichkeit führt in einfacher Weise auf die Definition des Mittelwerteseiner beliebigen physikalischen Größe. Die physikalische Eigenschaft A (z.B. Energie, Magnetisierung)soll die Größe A(m) haben, wenn sich das System im Zustand |m〉 befindet. Der Mittelwert 〈A〉unserer Beobachtungsgröße ist dann definiert durch (vergleiche hierzu (11.1.6))〈A〉 = ∑A(m)p(m) = 1mq ∑ A(m)n(m) . (11.4.3)mp(m) ist hierbei die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich das System in einem Zustand m befindet, währendn(m) die Häufigkeit angibt, mit der das System bei einer Reihe von q Messungen im Zustand m angetroffenwird. Der Mittelwert ist ein zeitlicher Mittelwert eines einzelnen Systems, da die Werte der n(m)an aufeinanderfolgenden Zeitpunkten bestimmt werden. Wir sprechen deshalb von einem Zeitmittel.Im Zusammenhang mit der obigen Definition der Wahrscheinlichkeit ist wichtig, dass die Beobachtungszeitraumso lange gewählt wird, dass p(m) nicht mehr von der Zeit abhängt. Man spricht in diesemZusammenhang von der Relaxationszeit des Systems. 16 Die Störungen des Systems sollen einerseits soschwach sein, dass die Eigenzustände |m〉 des Systems nicht wesentlich beeinflusst werden, und andererseitsso stark, dass die Relaxationszeiten wesentlich kleiner als der Beobachtungszeitraum sind.Auf der Basis dieser Überlegungen können wir folgende statistische Definition des thermodynamischenGleichgewichtszustandes machen:Ein System, für das p(m) nicht explizit von der Zeit abhängt, ist im thermodynamischenGleichgewicht.Das Ensemble- oder ScharmittelFalls sich ein System im thermodynamischen Gleichgewicht befindet, ist es möglich, die im Experimentvollzogene Zeitmittelung durch eine Ensemblemittelung zu ersetzen (siehe hierzu Abb. 11.10). DiesesKonzept geht auf Ludwig Boltzmann (1844-1906) und Josiah Willard Gibbs (1839-1903) zurück. Wirduplizieren dazu das System so oft, wie dies aufgrund der Anzahl der zugänglichen Zustände nötig ist.Alle Mittelungen werden dann über das so entstandene Ensemble durchgeführt. Ein Ensemble bestehtalso aus sehr vielen Systemen, die alle gleich sind. Die Systeme des Ensembles besitzen keine Dynamik.c○Walther-Meißner-Institut