Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

446 R. GROSS Kapitel 11: Statistische BeschreibungZusammenfassung• Der Mittelwert einer statistischen Größe A ist durch〈A〉 =M∑ A(m)p(m) ,m=1wobei p(m) die Wahrscheinlichkeit dafür ist, den Wert A(m) der Größe A zu messen.• Der Mittelwert der Abweichungen einer statistischen Größe〈A − 〈A〉〉 = ∑mp(m)(A(m) − 〈A〉) = ∑m= 〈A〉 − 〈A〉 = 0verschwindet, die quadratische Abweichungp(m)A(m) − 〈A〉∑ p(m)m(∆A) 2 = ∑P(m) (A(m) − 〈A〉) 2 = 〈A 2 〉 − 〈A〉 2 ≥ 0mist stets positiv, woraus 〈 A 2〉 ≥ 〈A〉 2 folgt.• Systemzustände klassischer Systeme können mit 2 f Koordinaten beschrieben werdenund zwar durch f generalisierte Koordinaten q k und f generalisierte Impulse p k , wobei fdie Anzahl der Freiheitsgrade des Systems ist. Werden die q k und p k als kartesische Koordinatenaufgefasst, so spannen sie einen 2 f dimensionalen Raum auf, der Phasenraumgenannt wird.• Die Entartungsfunktion g gibt die Anzahl der Mikrozustände für eine bestimmte Verteilungan, das heißt, g gibt die Zahl der mikroskopischen Realisierungsmöglichkeiten füreinen bestimmten Makrozustand an. Die Wahrscheinlichkeit für die Realisierung einerbestimmten Verteilung ist proportional zur Zahl der zu dieser Verteilung gehörenden Mikrozustände.• Für ein Spin-1/2-System gibt die Entartungsfunktion g(N,m) die Anzahl der Mikrozuständeeiner Klasse m (z.B. gleiche Magnetisierung) in einem System aus N Teilchenan:g(N,m) =N!( 1 2 N + m)! ( 1 2 N − m)!ein Binomialkoeffizient. Für große N geht die Binomialverteilung in eine Gaußverteilungg(N,m) = g(N,0) e − m22σ 2 = 2 N 1m2√ e− 2σ 22πσ 2mit σ(N) = √ N/2 über.c○Walther-Meißner-Institut