Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

516 R. GROSS Kapitel 13: Quantenstatistikwobei die absolute Aktivität λ = e µ/k BT von der Temperatur abhängt.Für die Zahl der Teilchen in den angeregten Zuständen erhalten wirN e (T ) = V4π 2 ( 2m¯h 2 ) 3/2∫∞0√ ελ −1 e ε/kBT dε (13.4.3)− 1oder mit x ≡ ε/k B TN e (T ) = V ( ) 3/2 ∫∞2mkB4π 2 ¯h 2 T 3/20√ xλ −1 e x dx (13.4.4)− 1Bei genügend tiefen Temperaturen wird die Teilchenzahl im Grundzustand sehr groß sein. Aus (13.4.2)folgt dann, dass λ ≃ 1 sein muss, sobald N 0 ≫ 1 ist. Für λ = 1 ergibt das Integral in (13.4.3) den Wert1.306 √ π und wir erhaltenN e (T ) = 1.306 V4( ) 2mkB T 3/2= 1.306 43/2 Vπ ¯h 24( mkB T2π ¯h 2 ) 3/2= 2.612 V V Q. (13.4.5)Hierbei istV Q =( 2π ¯h2) 3/2=mk B T⎛√⎞⎝2π ¯h 2⎠mk B T3= λ 3 . (13.4.6)das so genannte Quantenvolumen, das durch die thermische de Broglie Wellenlängeλ dB =√2π ¯h 2mk B T(13.4.7)gegeben ist. 1010 Mit p 2 /2m ∼ k B T erhalten wir sofort die de Broglie Wellenlängeλ dB = h p ∼ √¯h 2 2π 2mk B T .Der genaue Wert von λ dB wird dadurch bestimmt, welche kinetische Energie wir den Teilchen zuordnen.c○Walther-Meißner-Institut