Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

544 R. GROSS Anhang CCDarstellung von ̂L i und ̂L 2 in KugelkoordinatenIn kartesischen Koordinaten gilt für die Komponenten des Drehimpulsoperators(̂L x = i¯h sinϑ ∂̂L y = i¯ĥL z = −i¯h ∂∂ϕ .)∂+ cotϑ cosϕ∂ϕ∂ϑ(−cosϑ ∂∂+ cotϑ sinϕ∂ϑ ∂ϕ)(C.1)(C.2)(C.3)Damit ist auch der Operator ̂L 2 = ̂L 2 x + ̂L 2 y + ̂L 2 z bekannt.Zwischen den kartesischen Koordinaten (x,y,z) und den Kugelkoordinaten (r,ϑ,ϕ) besteht der Zusammenhangx = r sinϑ cosϕ r = √ x 2 + y 2 + z2 (C.4)y = r sinϑ sinϕzϑ = arccos √x 2 + y 2 + z 2(C.5)z = r cosϑ ϕ = arctan y x . (C.6)Wir betrachten zunächst Ĵ z . Mit∂∂x= ∂r ∂∂x ∂r + ∂ϑ∂x∂∂ϑ + ∂ϕ∂x∂∂ϕ(C.7)können wir die Beziehungen∂r∂x∂ϑ∂x∂ϕ∂x= x r=== sinϑ cosϕ (C.8)xzr 2√ x 2 + y 2y√x 2 + y 2cosϑ cosϕ=r= − sinϕr sinϑ(C.9)(C.10)gewinnen. Setzen wir diese Beziehungen in (C.7) ein, so erhalten wir∂∂x= sinϑ cosϕ ∂ ∂r+cosϑ cosϕr∂∂ϑ − sinϕr sinϑ∂∂ϕ .(C.11)c○Walther-Meißner-Institut