Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

548 R. GROSS Anhang EEEffektives Potenzial beim HeliumatomDas Potenzial Φ(r 1 ) für das erste Elektron eines Heliumatoms ist durch die Abschirmung des zweitenElektrons gegeben durchΦ(r 1 ) = − Ze +e ∫4πε 0 r 1 4πε 0ϑ∫ϕ∫Ψ ⋆ 2 Ψ 2dV 2 . (E.1)r 12r 2Zur Lösung des Integrals benutzen wir (siehe Abb. E3)r 2 12 = (r 1 − r 2 ) 2 = r 2 1 + r 2 2 − 2r 1 r 2 cosϑ . (E.2)Legen wir die z-Achse in Richtung von r 1 , so ist der Winkel ϑ identisch mit dem Polarwinkel ϑ 2 desVektors r 2 in Kugelkoordinaten. Für das Integral in (E.1) erhalten wirInt ==∫ϑ∫2π0= 2π∫ϕ∫dϕ 2∫ ∞0Ψ ⋆ 2 Ψ 2dV 2r 12r 2∫π0sinϑ 2 dϑΨ ⋆ 2Ψ 2 r 2 2dr 2∫ ∞0∫π0r 2 2dr 2Ψ ⋆ 2 Ψ 2r 12sinϑ 2 dϑr 12. (E.3)Innerhalb des zweiten Integrals sind r 1 und r 2 konstant und r 12 ist eine eindeutige Funktion von ϑ 2 . Wirkönnen somit mit Hilfe von (E.2) substituieren2r 12 dr 12 = −2r 1 r 2 d cosϑ 2 = 2r 1 r 2 sinϑ 2 dϑ 2 , (E.4)woraussinϑ 2 dϑ 2r 12= dr 12r 1 r 2(E.5)folgt. Weiterhin giltc○Walther-Meißner-Institut