Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

542 R. GROSS Anhang BDie Vektordifferentialoperation RotationDie Berechnung der Rotorkoordinaten auf krummlinigen Koordinaten lässt sich analog zum vorangegangenenAbschnitt durchführen. Die Rotation eines Vektorfeldes, ∇ × A, ist ein Vektor, der durch diemit dem umgekehrten Vorzeichen genommenen Volumenableitung dieses Feldes dargestellt wird:∇ × A = − lim∆V →0∫S ∆VA × dF∆V= + lim∆V →0∫S ∆VdF × A∆V. (B.23)Wir können somit schreiben∇ u × A =∇ v × A =∇ w × A =∣1∣∣∣ ∂r∂v∣ ∂r∂w∣1∣∣∣ ∂r∂u∣ ∂r∂w∣1∣∣∣ ∂r∂u∣ ∂r∂v∣∣∣⎡ (⎣ ∂⎡ (⎣ ∂⎡ (⎣ ∂∣ ) ( ∣ )∣∣ ∂r∣∣ ∂r⎤A w ∂w∣∂ A v ∂v∣−⎦∂v ∂w∣ ) ( ∣ )∣∣ ∂r∣∣ ∂r⎤A u ∂u∣∂ A w ∂w∣−⎦∂w ∂u∣ ) ( ∣ )∣∣ ∂r∣∣ ∂r⎤A v ∂v∣∂ A u ∂u∣−⎦ .∂u ∂v(B.24)(B.25)(B.26)Der ∇ 2 OperatorMit ∇ 2 f = ∇ · ∇ f erhalten wir aus (B.14) und (B.22)∇ 2 f =1∣ ∂r∂u∣∣ ∂r∂v∣∣ ∂r∂w∣⎡ (|∂r∂v|| ∂r∂| ∂r·⎢⎣ ∂u∂w| ∣ ∂ f∣ ∂u ∣∂u|)+∂(|∂r∂u|| ∂r∂w| ∣ ∂ f∣ ∂v ∣| ∂r∂v|∂v)+∂(|∂r∂u|| ∂r∂v| ∣ ∂ f∣ ∂w ∣| ∂w|∂r∂w) ⎤⎥⎦ .(B.27)Anwendung auf KugelkoordinatenDer Ortsvektor nimmt für Kugelkoordinaten (r,ϑ,ϕ) die Formr = r sinϑ cosϕî + r sinϑ sinϕĵ + r cosϑ̂k (B.28)c○Walther-Meißner-Institut