Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

452 R. GROSS Kapitel 12: Verteilungsfunktionen12.2 Gibbs- und Boltzmann-FaktorenWir wollen nun die Überlegungen aus dem vorangegangenen Abschnitt vertiefen. Hierzu betrachten wirein sehr großes Gesamtsystem mit konstanter innerer Energie U 0 und konstanter Teilchenzahl N 0 . Wirstellen uns vor, dass dieses System aus zwei Teilen besteht und zwar aus einem im Folgenden Systemgenannten Teil und einem sehr viel größeren Reservoir. Das System und das Reservoir sollen in thermischemund diffusivem Kontakt stehen. Besitzt das System N Teilchen, so hat das Reservoir N 0 − NTeilchen. Ist ε die innere Energie des Systems, so ist U 0 − ε die Energie des Reservoirs.Wir wollen nun die statistischen Eigenschaften des Systems ermitteln. Dazu müssen wir uns die Fragestellen, wie groß zu einem bestimmten Beobachtungszeitpunkt die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dasSystem in einem Zustand k mit Teilchenzahl N k und Energie ε k anzutreffen. Diese Wahrscheinlichkeitp(N k ,ε k ) ist proportional zur Zahl möglicher Zustände des Reservoirs. Wenn wir nämlich den Zustanddes Systems festlegen, so ist die Zahl der möglichen Zustände des ganzen Komplexes System plus Reservoirgenau die Zahl der möglichen Zustände des Reservoirs. Das heißt, es giltg(System + Reservoir) = g(Reservoir) . (12.2.1)Die Zustände des Reservoirs haben hierbei N 0 − N k Teilchen und die Gesamtenergie U 0 − ε k .Die Wahrscheinlichkeit p(N k ,ε k ) ist also proportional zur Zahl der möglichen Zustände des Reservoirs,d.hp(N k ,ε k ) ∝ g(N 0 − N k ,U 0 − ε k )oderp(N k ,ε k ) = C g(N 0 − N k ,U 0 − ε k ) . (12.2.2)Hierbei ist C ein von k unabhängiger Proportionalitätsfaktor, der aus der Normierungsbedingung ∑ p k = 1folgt.Die Beziehung (12.2.2) zeigt, dass g(Reservoir) = g(N 0 − N k ,U 0 − ε k ) von der Teilchenzahl und derEnergie des Reservoirs abhängt. Das bedeutet, dass bei der Diskussion des Systems offensichtlich derZustand des Reservoirs entscheidend ist. Wir werden aber sehen, dass nur die Temperatur und das chemischePotenzial des Reservoirs entscheidend sind.In Gleichung (12.2.2) haben wir die Proportionalitätskonstante nicht angegeben. Wir betrachten deshalbnur Verhältnisse von Wahrscheinlichkeiten für zwei Zustände 1 und 2 des Systems (siehe hierzuAbb. 12.1):kp(N 1 ,ε 1 )p(N 2 ,ε 2 )= g(N 0 − N 1 ,U 0 − ε 1 )g(N 0 − N 2 ,U 0 − ε 2 ) . (12.2.3)Die Entartungen g sind sehr große Zahlen, weshalb wir lng = σ verwenden wollen. Es gilt dannc○Walther-Meißner-Institut