Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 11.3 PHYSIK IV 415Mit diesem Resultat wird der symbolische Ausdruck (↑ + ↓) N zu(↑ + ↓) N =m=+ 1 2 N∑m=− 1 2 N N!( 1 2 N + m)! ( 1 2 N − m)! ↑ 1 2 N+m ↓ 1 2 N−m . (11.3.6)Die Schreibweise ↑ 1 2 N+m ↓ 1 2 N−m bezeichnet dabei keinen speziellen Zustand mehr, da wir ja die Platzhalterweggelassen haben. Der Koeffizient des Terms ↑ 1 2 N+m ↓ 1 2 N−m gibt daher die Anzahl von verschiedenenZuständen an, in denen 1 2 N + m Spins nach oben und 1 2N − m Spins nach unten zeigen. Diese Zuständebesitzen alle die gleiche Magnetisierung M = 2mµ B . D.h. der Koeffizient gibt die Anzahl der Zuständein der Klasse an, die durch die Magnetisierung M = 2mµ B charakterisiert ist.Der Entwicklungskoeffizient von ↑ 1 2 N+m ↓ 1 2 N−m istg(N,m) =N!( 1 2 N + m)! ( 1 2 N − m)! (11.3.7)und gibt die Anzahl dieser Zustände mit der Magnetisierung 2mµ B an, das heißt die Anzahl der Zuständemit einem Spinüberschuss von 2m für ein System von N Spins. Die Größe g(N,m) ist ein Binomialkoeffizient,wobei m jede beliebige ganze Zahl zwischen − 1 2 N und + 1 2 N ist.Da g(N,m) die Anzahl der Zustände mit gleicher Magnetisierung angibt, nennen wir g(N,m) Entartungsfunktion.Sie ist in Abb. 11.6 für den Fall N = 10 gezeigt. Die Verteilung ist schon für diese relativkleine Anzahl von Spins stark um den Wert m = 0 zentriert.Es ist zu beachten, dass nach (11.3.5) die gesamte Anzahl von Zuständen durch(1 + 1) N = 2 N =m=+ 1 2 N∑m=− 1 2 N g(N,m) (11.3.8)gegeben ist. In der Wahrscheinlichkeitstheorie leitet man die Größe g(N,m) oft als die Anzahl vonMöglichkeiten, 1 2 N + m nach oben und 1 2N − m nach unten gerichteter Spins aus einer Gruppe von NSpins auszuwählen, her. Die hier verwendete Argumentation ist äquivalent, führt aber etwas schnellerzum Ziel.Analog zu (11.1.2) erhalten wir die Wahrscheinlichkeit, den Spinüberschuss m anzutreffen, zup(m) =g(N,m)m=+ 1 2 N∑m=− 1 2 N g(N,m). (11.3.9)2003