Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

406 R. GROSS Kapitel 11: Statistische BeschreibungSind von N Teilchen p ununterscheidbar, so gibt es nurg = N!p!(11.1.5)Möglichkeiten, die Teilchen auf die N Zellen zu verteilen.11.1.2 Mittelwert, Mittelwert der Abweichung, SchwankungWollen wir man die mittlere Augenzahl nach N-maligem Würfeln oder bei einmaligem Würfeln mit NWürfeln ermitteln, so summieren wir einfach die gewürfelten Augenzahlen auf und teilen sie durch dieZahl N der Würfelvorgänge oder Würfel. Übertragen wir diese Vorgehensweise für die Mittelwertbildungauf eine System von mikroskopischen Teilchen, so hilft uns diese Definition des Mittelwerts oft nichtweiter. Wollen wir z.B. den Mittelwert der Geschwindigkeit bestimmen, so scheitert dies daran, dasswir die einzelnen Geschwindigkeiten der Teilchen gar nicht kennen. Es ist deshalb zweckmäßiger, denMittelwert 〈A〉 einer Größe A über die Wahrscheinlichkeiten p(m) zu berechnen. Dabei ist p(m) als dieWahrscheinlichkeit definiert, einen Wert A(m) der Größe A zu finden. Auf unser Beispiel mit dem Würfelübertragen bedeutet also z.B. p(5) die Wahrscheinlichkeit dafür, die Augenzahl 5 zu würfeln.Wir überlegen uns nun, welchen Mittelwert 〈A〉 wir erhalten, wenn wir sehr oft messen und den Mittelwertbilden. Wir erhalten〈A〉 =M∑m=1A(m)p(m)M∑ p(m)m=1=M∑ A(m)p(m) , (11.1.6)m=1daM∑m=1p(m) = 1. Hierbei ist auf den Würfel bezogen M = 6 die Zahl der möglichen Werte vonA. Wir summieren jetzt also nicht mehr über eine große Zahl von Einzelmessungen auf (z.B. vonWürfelvorgängen), sondern nur noch über alle möglichen Messergebnisse (z.B. über die möglichen Augenzahlen),wobei wir mit deren Wahrscheinlichkeiten wichten müssen.Liegt eine kontinuierliche Verteilung von Messwerten vor, so müssen wir die Summation in (11.1.6)durch eine Integration ersetzen und erhalten〈A〉 =∫A(m)p(m) dm . (11.1.7)Hierbei ist jetzt p(m) eine Wahrscheinlichkeitsdichte oder Verteilungsdichte, für die∫p(m) dm = 1 (11.1.8)c○Walther-Meißner-Institut