Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

430 R. GROSS Kapitel 11: Statistische Beschreibungm 1N 1= m − m 1N 2= m 2N 2. (11.5.10)Durch die Berechnung der zweiten Ableitung kann man sich davon überzeugen, dass es sich bei demidentifizierten Extremum wirklich um ein Maximum handelt.Das Ergebnis ist anschaulich klar. Das System vermeidet die Clusterung von Spins. Energie wird solangeausgetauscht, bis die Spindichte m/N in den beiden Untersystemen gleich, d.h. im gesamten Systemhomogen verteilt ist. Das hätten wir vermutet, handelt es sich doch dabei um die einzige wirklich ausgezeichneteVerteilung. Wir müssen aber in diesem Zusammenhang beachten, dass unser ideales Spin-System keine Wechselwirkung zwischen den Spins aufweist, die eine Clusterung fördern könnte.Für das in Abb. 11.13 gezeigte Spin-Modell finden wir das Maximum der Entartung für ˜m 1 = 2g(N 1 = 4,N 2 = 2,m = 2, ˜m 1 = 2) = 8 . (11.5.11)Für den Term ˜m 1 = 0 ergibt sichg(N 1 = 4,N 2 = 2,m = 2, ˜m 1 = 0) = 6 . (11.5.12)Das Maximum in der Entartungsfunktion ist somit nur sehr schwach ausgeprägt. Zugegebenermaßenhandelt es sich dabei nicht um große Systeme. Es wäre also in dem gegebenen Fall falsch, thermodynamischzu argumentieren und die Eigenschaften des Systems unter ausschließlicher Einbeziehung derwahrscheinlichsten Quantenzustände zu berechnen.Was passiert nun im Falle wirklich großer Systeme? Führen wir eine kleine Fluktuation δ ein, so dassm 1 = ˜m 1 + δ und m 2 = ˜m 2 − δ , (11.5.13)so ergibt sich für die Quadratem 2 1 = ˜m 2 1 + 2 ˜m 1 δ + δ 2 und m 2 2 = ˜m 2 2 − 2 ˜m 2 δ + δ 2 , (11.5.14)und somitg(N 1 ,N 2 ,m 1 ,m 2 ) = g 1 (N 1 , ˜m 1 )g 2 (N 2 , ˜m 2 )( [ ˜m1×exp −4δ − ˜m ] [2 1− 2δ 2 + 1 ])N 1 N 2 N 1 N 2. (11.5.15)c○Walther-Meißner-Institut