Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 4.3 PHYSIK IV 1394.3 Die Spin-Bahn-Kopplung: FeinstrukturWir hatten schon bei der Diskussion relativistischer Korrekturen in Abschnitt 4.2 gezeigt, dass es eineFeinstruktur der Spektren jenseits der Vorhersagen der spinlosen Schrödinger-Gleichung gibt. Als Grundfür diese Feinstruktur wurde die relativistischen Korrektur ausgemacht, welche die Entartung zwischenZuständen mit gleicher Hauptquantenzahl n aber ungleicher Bahndrehimpulsquantenzahl l aufhob. Nebendieser relativistischen Korrektur gibt es nun auch noch eine Korrektur gleicher Größenordnung, dieauf den Spin zurückzuführen ist. Da diese Aufspaltung ebenfalls sehr klein ist, hat sie den Namen Feinstrukturerhalten. Wir wollen die Ursache für diese Feinstruktur in diesem Abschnitt diskutieren.Bei den bisher diskutierten Korrekturen haben wir den Spin des Elektrons nicht berücksichtigt. Da dasElektron aber einen Spin mit zugehörigem magnetischen Moment aufweist, muss es im klassischen Bildzur Wechselwirkung dieses Moments mit dem durch die Bahnbewegung erzeugten Magnetfeld kommen.Dies wird durch die quantenmechanische Berechnung bestätigt. Dabei folgt der Wechselwirkungstermaus der nicht-relativistischen Näherung der Dirac-Gleichung. Experimentell erweisen sich alle Energieniveausdes Wasserstoffatoms mit l ≠ 0 als Dubletts, falls man sie mit genügend hoher spektralerAuflösung untersucht. Das Gleiche gilt für die Alkali-Atome, die dem Wasserstoff sehr ähnlich sind, dasie nur ein Valenzelektron besitzen. Die Feinstruktur der Spektren kann ihre Ursache nur im Spin desElektrons haben, da die exakten Lösungen der Schrödinger-Gleichung 1 ohne Spin keine Aufspaltung derdurch die Hauptquantenzahl n definierten Energieniveaus liefern. 2Ein weiteres typisches Beispiel für die Feinstruktur von Atomspektren ist die gelbe Doppellinie desNatriums. Die beiden Frequenzen der D-Linie entsprechen den Übergängen des Leuchtelektrons von3p-Niveaus in den 3s-Grundzustand. Die Aufhebung der Entartung zwischen 3p und 3s ist dabei aufdie Abschirmung des Kerns durch die inneren Elektronen zurückzuführen. Die weitere Aufspaltung inλ 1 = 589.0 nm und λ 2 = 589.6 nm, was einer Energiedifferenz von ∆E = 2 meV oder ∆ν = 17 cm −1entspricht, ist den relativistischen Korrekturen und der Spin-Bahn-Kopplung zuzuschreiben. Die relativeAufspaltung beträgt also ziemlich genau 0.1%.4.3.1 Der Spin-Bahn-KopplungstermDa die Behandlung der Spin-Bahn-Kopplung durch die nichtrelativistische Näherung der Dirac-Gleichung relativ aufwändig ist, wollen wir hier ein halbklassisches Modell zur Ableitung der Spin-Bahn-Kopplung verwenden. Wir tun dies deshalb, weil zum grundsätzlichen Verständnis klassische Plausibilitätsargumenteausreichend sind. Man bezeichnet die halbklassische Methode als Vektormodell oderVektorgerüstmodell.Die Bewegung des Elektrons um den Kern ergibt im Ruhesystem des Elektrons eine Bewegung des Kernsum das Elektron (siehe Abb. 4.2). Diese Kernbewegung entspricht einem Elementarstrom, dessen Magnetfeldmit Hilfe des Gesetzes von Biot-Savart (4.6.1) errechnet werden kann. Für eine Kreisbewegungergibt sichB l = µ 0Ze4πr 3 (v × (−r)) = − µ 0Ze(v × r) , (4.3.1)4πr3 1 Die exakten Lösungen existieren nur für das Wasserstoffatom. Im Falle der Alkaliatome kommt es auf Grund der Abschirmungdes Kernpotenzials durch die Rumpfelektronen zur Aufhebung der l-Entartung. Wir werden später genauer auf diesesPhänomen zurückkommen. Es unterscheidet sich aber grundsätzlich von der hier diskutierten Feinstruktur.2 Auch das Proton besitzt wie das Elektron einen Spin. Deshalb ist als Ursache für die Aufspaltung der Spin des Protonsnicht auszuschließen. Wie wir später sehen werden, beeinflusst der Protonenspin tatsächlich die Elektronenniveaus. Dies führtzur so genannten Hyperfeinaufspaltung.2003