Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

122 R. GROSS Kapitel 3: Das EinelektronenatomKnoten von R n,l (r) niederschlägt. Wie beim eindimensionalen Kastenpotential (siehe Physik III) findenwir also auch hier einen Zusammenhang zwischen der Hauptquantenzahl n und der Topologie der Wellenfunktion.In den Radialfunktionen R n,l (r) tritt ferner die normierte Variable r/a B auf. Der BohrscheRadius a B stellt also eine intrinsische Längenskala des Systems dar.3.3.7 AufenthaltswahrscheinlichkeitenWir haben bereits gesehen, dass die Wahrscheinlichkeit, das Elektron am Ort r aufzufinden, durch dasBetragsquadrat der Wellenfunktion |Ψ n,l,m | 2 gegeben ist. Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron des Einelektronenatomsim Volumenelement dV = dxdydz an der Stelle (x,y,z) zu finden istdP(x,y,z) = |Ψ n,l,m | 2 dV = |R n,l | 2 · |Y l,m | 2 dV . (3.3.90)Wir erkennen aus Tabelle 3.5, dass für den 1s-Zustand, das heißt den Grundzustand des Einelektronenatoms,eine kugelsymmetrische Aufenthaltswahrscheinlichkeit vorliegt, die am Kernort (r = 0) ein Maximumhat. Im Gegensatz zum Bohrschen Atommodell ist also keine bestimmte Bahnebene ausgezeichnet.Ferner besitzt dieser Zustand wegen l = 0 keinen Drehimpuls. Dies steht klar im Gegensatz zum BohrschenAtommodell, bei dem das Elektron im Grundzustand einen endlichen Drehimpuls |L| = ¯h hatteund ferner auf einer Kreisbahn mit Radius r = a B um den Kern lief.Im Abschnitt 3.3.3 hatten wir uns schon mit dem Winkelanteil der Wellenfunktion auseinandergesetzt.Die entsprechenden Kugelflächenfunktionen Y l,m (ϑ,ϕ) waren so normiert, dass die Integration über denvollen Raumwinkel eins ergab. Sie können daher bei der Betrachtung der radialen Abhängigkeit derAufenthaltswahrscheinlichkeiten ignoriert werden. Wollen wir wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeitdafür ist, das Elektron in einem bestimmten Abstand zwischen r und r + dr vom Kern aufzufinden, somüssen wir die GrößeW(r)dr =∫ π ∫2π0 0|Ψ n,l,m (r,ϑ,ϕ)| 2 r 2 dr sinϑdϑ dϕ = r 2 R 2 n,l(r)dr (3.3.91)Die Wahrscheinlichkeit W(r) = r 2 R 2 n,l(r) nennen wir radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit. Sie unterscheidetsich, wie in Abb. 3.16 zu sehen ist, wesentlich von der Wellenfunktion R n,l (r). 23 So ist für den1s-Zustand die Wellenfunktion R n,l (r) am Ursprung zwar endlich und fällt von dort mit zunehmendemr exponentiell ab, die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit r 2 R n,l (r) steigt hingegen von Null auf einenmaximalen Wert bei r max an, um dann von dort für r → ∞ auf Null abzufallen.Es lässt sich einfach zeigen, dass für den 1s-Zustand die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit ein Maximumbei r max = a B /Z hat. Für das Wasserstoffatom (Z = 1) erhält man also die maximale radialeAufenthaltswahrscheinlichkeit bei dem Bohrschen Radius a B . Allerdings besteht wegen |L| = 0 ein wesentlicherUnterschied zum Bohrschen Modell: Wenn man ein klassisches Modell der Bewegung desElektrons im 1s-Zustand verwenden will, müsste man statt der Kreisbahn im Bohrschen Modell eine23 Der Grund dafür ist die Veränderung des Phasenraums mit r. Unter Phasenraum verstehen wir das Volumen der zwischenr und r + dr liegenden Kugelschale. Das Volumen geht für r → 0 gegen Null.c○Walther-Meißner-Institut