Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

528 R. GROSS Kapitel 13: QuantenstatistikZusammenfassung• Die mittlere Besetzungszahl eines Einteilchenzustandes k in einem System aus N wechselwirkungsfreienTeilchen ist〈n k 〉 = − 1 β∂ lnZ∂ε k.Dabei ist Z = ∑exp[−β(n 1 ε 1 +n 2 ε 2 +...)] die Zustandssumme des Systems und es gilt dieNormierung ∑ k 〈n k 〉 = N.• Die Summation in der Zustandssumme erstreckt sich über alle Vielteilchenzustände desSystems, die mit der Normierung auf die Gesamtteilchenzahl verträglich sind. Diese zugelassenenVielteilchenzustände lassen sich je nach Art der Teilchen und der Besetzbarkeitder Einteilchenzustände durch verschiedene Abzählmethoden ermitteln:– Abzählmethode nach Maxwell-Boltzmann für unterscheidbare Teilchen (klassischeTeilchen)– Abzählmethode nach Bose-Einstein bei beliebiger Besetzbarkeit mit ununterscheidbaren(Quanten-) Teilchen (Bosonen)– Abzählmethode nach Fermi-Dirac bei nur einfacher Besetzbarkeit mit ununterscheidbarenTeilchen (Fermionen)• Für klassische Teilchen, Bosonen und Fermionen ergeben sich folgende mittlere Besetzungszahlen:〈n k 〉 = N e−ε k/k B T∑ke −ε k/k B T1〈n k 〉 =e (ε k−µ)/k B T − 11〈n k 〉 =e (ε k−µ)/k B T + 1 .Maxwell-Boltzmann-VerteilungBose-Einstein-VerteilungFermi-Dirac-Verteilung• Die Zustandsdichte eines idealen Gases beträgtD(ε)dε = V4π 2 ( 2m¯h 2 ) 3/2√ ε dε .• Für ein mit den Wänden wechselwirkendes Photonengas gilt die Abzählmethode nachBose-Einstein unter der Nebenbedingung, dass die Photonenzahl nicht fest ist. In diesemFall ergibt sich für die mittlere Besetzungszahl die Plancksche Verteilung〈n k 〉 =1e ε k/k B T − 1 .c○Planck-VerteilungWalther-Meißner-Institut