Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 12.2 PHYSIK IV 455Durch diesen Ausdruck wird das Verhältnis der Wahrscheinlichkeiten dafür angegeben, dass sich dasSystem in einem Zustand der Energie ε 1 bzw. ε 2 befindet, während die Teilchenzahl N konstant bleibt.Einen Term der Forme −ε/τBoltzmann-Faktorbezeichnen wir als Boltzmann-Faktor. 4Der Boltzmann-Faktor erlaubt es uns z.B., die relative Verteilung der Elektronen auf die verschiedenenNiveaus des Wasserstoffatoms bei einer gegebenen Temperatur τ zu berechnen. Indem wir die Verteilungexperimentell bestimmen, können wir über den Vergleich mit der theoretischen Vorhersage die Temperaturτ festlegen. Messen wir dann die thermodynamische Temperatur T des Systems, erhalten wir durchVergleich die Boltzmann-Konstante k B . Der schon angedeutete Umweg über einen Carnot-Prozess ist zurBestimmung von k B also nicht unbedingt nötig.1.00.8g(ε) e -ε/τ0.60.4∆E0.20.00.6 0.8 1.0 1.2 1.4∼ε / εAbbildung 12.2: Schematische Darstellung der Funktion g(ε)e −ε/τ in Abhängigkeit von ε/˜ε für ein makroskopischesSystem. Hierbei ist ˜ε die mittlere Energie des Systems.Der Boltzmann-Faktor e −ε k/τ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass sich das System in einem bestimmtenZustand k mit Energie ε k befindet. Die Wahrscheinlichkeit p(ε) dafür, das System in einemZustand mit einer Energie zwischen ε und ε + δε vorzufinden, erhalten wir durch Summation über alleZustände k in diesem Intervall:p(ε) = ∑ p k ε < ε k < ε + δε . (12.2.13)kDie Zustände in dem schmalen Energieintervall sind alle gleich wahrscheinlich und durch denBoltzmann-Faktor e −ε/τ charakterisiert. Daher erhalten wir4 Gibbs bezeichnete das Ergebnis (12.2.12) als eine kanonische Verteilung.2003