Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 12.3 PHYSIK IV 45712.3 Zustandssummen und Mittelwerte12.3.1 Große ZustandssummeDie Summe aller Wahrscheinlichkeiten über alle möglichen Zustände des Systems muss eins ergeben, dasich das System ja in irgendeinem Zustand befinden muss. Es gilt also∑∑p(N,ε k ) =N ε k1˜Z(µ,τ) ∑ ∑ expN ε k( )Nµ − εk (N)τ= 1 , (12.3.1)wobei 1/˜Z den gesuchten Normierungsfaktor darstellt. Wir erhalten˜Z(µ,τ) ≡ ∑∑expN ε k( )Nµ − εk (N)τ. (12.3.2)Wir nennen ˜Z die große Zustandssumme. Die Summen müssen über alle Zustände des Systems für alleTeilchenzahlen ausgeführt werden. Wir haben deshalb ε k als ε k (N) geschrieben, um auf die Abhängigkeitdes Zustandes von der Teilchenzahl hinzuweisen.Die absolute Wahrscheinlichkeit, dass wir das System in einem Zustand N, ε vorfinden, ist somit durchden Gibbs-Faktor geteilt durch die große Zustandssumme gegeben:p(N,ε) =exp( )Nµ−ε(N)τ˜Z. (12.3.3)Die große Zustandssumme stellt also den Proportionalitätsfaktor zwischen dem Gibbs-Faktor und derBesetzungswahrscheinlichkeit des Zustandes dar.12.3.2 MittelwerteWir können die Zustandssumme verwenden, um Mittelwerte von Größen anzugeben. Ist A(N,k) der Werteiner Größe A für den Fall, dass das System N Teilchen besitzt und sich im Zustand k befindet, dann istnach (11.1.6) der Mittelwert dieser Größe über die Systeme der Gesamtheit〈A〉 = ∑N∑A(N,k)p(N,ε k ) =k∑N∑k)A(N,k) exp(Nµ−εkτ˜Z. (12.3.4)Wir nennen 〈A〉 den thermischen Mittelwert, Ensemble-Mittelwert oder das Scharmittel.2003