Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Abschnitt 11.4 PHYSIK IV 425Zeitmittelung: Mittelung über q ZeitpunkteZeitEnsemble-Mittelung:Mittelung über q SystemeAbbildung 11.10: Zur Veranschaulichung der Zeit- und Ensemble-Mittelung.Die Zeit tritt deshalb in der Mittelung nicht mehr in Erscheinung. Im Fall unseres Spin-Modells bestehtdas Ensemble ohne Magnetfeld aus 2 N unterschiedlichen Spinfolgen.Das Gibbssche Schema ersetzt Zeitmittelwerte eines einzelnen Systems durch Ensemble-Mittelwerte, dieauch Scharmittel genannt werden. Physikalische Systeme, für die die Ensemblemittelung die gleichenResultate liefert wie die Zeitmittelung, werden als ergodisch bezeichnet. Der Beweis der Äquivalenzvon Scharmittel und Zeitmittel ist schwierig und hat viele Mathematiker herausgefordert. Es ist bisherin vielen Fällen noch nicht gelungen, notwendige und hinreichende Bedingungen für die Ergodizitätmathematisch sauber zu definieren. Es ist aber z.B. intuitiv klar, dass der Übergang von der idealenFlüssigkeit zu einem Glas ein Übergang von einem ergodischen zu einem nicht-ergodischen System seinmuss.Beispiel: Der SpielwürfelDer Vorteil der Wahrscheinlichkeitsdefinition von Mittelwerten ist der, dass wir oftmals über Wahrscheinlichkeitenallgemeine Aussagen machen können. Zum Beispiel wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeitp(m), mit einem Spielwürfel die Augenzahl A(m) = 1,2,3,4,5,6 zu würfeln, unabhängig von mgleich 1/6 ist. Somit erhalten wir〈A〉 = ∑A(m)p(m) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6m6= 7 2 . (11.4.4)Um diesen Wert im Experiment zu realisieren, müssen wir entweder einen Würfel sehr oft werfen (Zeitmittel)oder mit einer sehr großen Zahl von Würfeln einmal werfen (Scharmittel).16 Die Relaxationszeiten müssen nicht für alle Beobachtungsgrößen gleich sein. Darauf wollen wir hier nicht weiter eingehen.2003