Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

Anhang D: Vertauschungsrelationen ̂L i , ̂L 2 PHYSIK IV 547Weiter gewinnen wir durch Einsetzen von ̂L x in (D.4) und (D.5) die Beziehungen̂p ẑL x − ̂L x ̂p z = i¯ĥp ŷL x ẑ − ẑ̂L x = i¯hŷ , (D.8)womit (D.7) unter Benutzung von (3.3.37) bis (3.3.39) in[̂L x ,̂L y ] = −i¯h(̂p x ŷ − ̂x̂p y ) = i¯ĥL z (D.9)übergeht. Analog folgen die Beziehungen[̂L y ,̂L z ] = i¯ĥL x (D.10)[̂L z ,̂L x ] = i¯ĥL y . (D.11)Wir wollen nun den Kommutator [̂L z ,̂L 2 ] berechnen. Mit der Beziehung ̂L 2 = ̂L 2 x + ̂L 2 y + ̂L 2 z gilt:[̂L z ,̂L 2 ] = [̂L z ,̂L x] 2 + [̂L z ,̂L y] 2 + [̂L z ,̂L z 2 ]= [̂L z ,̂L x ]̂L x + ̂L x [̂L z ,̂L x ] + [̂L z ,̂L y ]̂L y + ̂L y [̂L z ,̂L y ]= i¯h[̂L ŷL x + ̂L x̂L y − ̂L x̂L y − ̂L ŷL x ]= 0 . (D.12)Analog erhalten wir[̂L x ,̂L 2 ] = 0 (D.13)[̂L y ,̂L 2 ] = 0 . (D.14)2003