Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

418 R. GROSS Kapitel 11: Statistische BeschreibungWenn N groß ist, werden die Fluktuationen — an der maximalen Magnetisierung gemessen — immergeringer. Ist N = 10 24 (also etwa die Anzahl der Atome in einem Mol eines Gases), so finden wirM rmsM max≃ 10 −12 . .11.3.4 Die Gauß-Verteilung für große NBei sehr großen N wird es unpraktikabel, mit Fakultäten zu arbeiten. Wir benutzen zu deren DarstellungNäherungsformeln, wie z.B. diejenige von Stirling:N! = √ 2πN N N exp(−N + 1 + ...) . (11.3.18)12NFür große N erhalten wir daraus den Ausdruck (11.1.4).Wird der Näherungsformalismus, auf den wir hier nicht weiter eingehen wollen, konsequent angewendet,so findet man, dass die Entartungsfunktion bei großen N gut durch eine Gauß-Funktion beschrieben wird:√2g(N,m) = 2 N 2m2e− N . (11.3.19)πNMit der Standardabweichung σ(N), die die halbe Breite der Gauß-Kurve an der Stelle bezeichnet, an derdie Funktion auf 1/ √ e ihres Maximalwertes abgefallen ist, erhalten wirσ(N) =√N2(11.3.20)und somitM rms = 2 σ(N)µ B = √ Nµ B . (11.3.21)Für makroskopische N ist die Magnetisierungskurve bezogen auf den Maximalwert beliebig schmal(vergleiche (11.3.17)). Beispiele sind in Abb. 11.7 gezeigt.√Unter Benutzung von σ(N) = N2erhalten wirg(N,m) = g(N,0) e − m22σ 2 = 2 N 1m2√ e− 2σ 2 . (11.3.22)2πσ 2c○Walther-Meißner-Institut