Vorlesungsskript Physik IV - Walther Meißner Institut - Bayerische ...

328 R. GROSS Kapitel 9: Moleküle9.2 Das Vielelektronen-Molekül — H 2 -MolekülWir wollen nun am Beispiel des H 2 -Moleküls darlegen, was zu beachten ist, wenn wir vom H + 2 -Molekülion mit nur einem Elektron zu komplexeren Molekülen mit mehreren Elektronen übergehen.Wir wollen hier auch wiederum nur den einfachsten Fall, nämlich das H 2 -Molekül betrachten. Da dasH 2 -Molekül wie das He-Atom zwei Elektronen besitzt, müssen wir die Wechselwirkung zwischen denbeiden Elektronen berücksichtigen. Dies führt — auch bei festgehaltenen Kernen — dazu, dass wir dieSchrödinger-Gleichung nicht mehr wie beim H + 2-Molekülion separieren können. Es gibt also keine exakteLösung für das Problem mehr und wir müssen auf Näherungsverfahren zurückgreifen.Wir wollen hier kurz auf die beiden wichtigsten Näherungsverfahren, die Molekülorbitalnäherung unddie Heitler-London Valenzbindungsmethode eingehen.9.2.1 Die MolekülorbitalnäherungDer Grundzustand des H 2 -Moleküls geht für R → ∞ in zwei H-Atome im 1s-Zustand über. Deshalbwählen wir als Molekülorbital genauso wie beim H + 2-Molekülion die symmetrische normierte LinearkombinationΨ s =1√ 2 + 2SAB(φ A + φ B ) (9.2.1)aus den Wasserstoff 1s-Wellenfunktionen φ A und φ B .Für den Fall, dass beide Elektronen im Grundzustand des H 2 -Moleküls sind, setzen wir für unsereZweielektronen-Wellenfunktion das ProduktΨ(r 1 ,r 2 ) = Ψ s (r 1 ) · Ψ s (r 2 ) (9.2.2)der beiden Molekülorbitale (9.2.1) an. Wir sprechen deshalb von der Molekülorbitalnäherung. DieserAnsatz bedeutet, dass wir den Einfluss der Wechselwirkung zwischen den beiden Elektronen auf dieräumliche Verteilung der Molekülorbitale vernachlässigen (vergleiche hierzu Zentralfeldnäherung in Abschnitt7.1.1).Wir sehen ferner, dass unser Ansatz (9.2.2) symmetrisch bezüglich einer Vertauschung der beiden Elektronenist. Da wir es aber mit Fermionen zu tun haben, für die das Pauli-Prinzip gilt, muss die Gesamtwellenfunktionantisymmetrisch sein. Dies können wir dadurch erreichen, indem wir den Ortsanteilmit einem antisymmetrischen Spin-Anteil multiplizieren und somit die antisymmetrische GesamtwellenfunktionΨ(r 1 ,r 2 ,s 1 ,s 2 ) = Ψ s (r 1 ) · Ψ s (r 2 ) · [σ + (r 1 )σ − (r 2 ) − σ + (r 2 )σ − (r 1 ) ] (9.2.3)erhalten. Hierbei bedeutet σ + (r 1 ), dass der Spin des Elektrons am Kern 1 nach oben zeigt. Wir sehen,dass die beiden Elektronen antiparallelen Spin haben und somit einen Spin-Singulett-Zustand bilden.c○Walther-Meißner-Institut